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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Nullpunkt differenzierbar
Nullpunkt differenzierbar < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Nullpunkt differenzierbar: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:30 Sa 10.06.2006
Autor: Sultan

Aufgabe
Hi, ich bin am verzweifeln hoffe ihr könnt mir weiter helfen

[mm] f(x,y)=\left\{\begin{matrix} (x^2+y^2)*\sin\left[(x^2+y^2)^{-1/2}\right], & \mbox{für }(x,y)\not=(0,0) \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für }(x,y)=0\mbox{ } \end{matrix}\right. [/mm]

zeigen sie, dass f im Nullpunkt differenzierbar ist und dass die beiden partiellen Ableitungen im Nullpunkt unstetig sind

berechne ich hier die richtungsableitung?
wenn ja ist denn damit gezeigt dass es im nullpunkt differenzierbar ist
und wie genau zeige ish dass es im nullpkt unstetig ist??

Danke im vorraus

        
Bezug
Nullpunkt differenzierbar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:00 So 11.06.2006
Autor: Leopold_Gast

Differenzierbarkeit bei [mm]0 = (0,0)[/mm] heißt, daß es [mm]a_0,b_0 \in \mathbb{R}[/mm] gibt, so daß der für [mm](h,k) \neq (0,0)[/mm] definierte Term

[mm]\frac{\left| f(0+h,0+k) - f(0,0) - \left( a_0 h + b_0 k \right) \right|}{\sqrt{h^2 + k^2}}[/mm]

für [mm](h,k) \to (0,0)[/mm] gegen [mm]0[/mm] strebt.

Versuchen wir es mit [mm]a_0 = b_0 = 0[/mm]. Wegen [mm]f(0,0) = 0[/mm] vereinfacht sich der Ausdruck zu

[mm]\frac{\left| f(h,k) \right|}{\sqrt{h^2 + k^2}} = \frac{\left( h^2 + k^2 \right) \, \left| \sin{\frac{1}{\sqrt{h^2 + k^2}}} \right|}{\sqrt{h^2 + k^2}} = \sqrt{h^2 + k^2} \, \left| \sin{\frac{1}{\sqrt{h^2 + k^2}}} \right|[/mm]

Und was passiert nun für [mm](h,k) \to (0,0)[/mm]? Und was heißt das für Differenzierbarkeit und Wert der Ableitung?

Bezug
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