Nullmengen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:35 Mi 24.06.2009 | | Autor: | MaRaQ |
| Aufgabe | | Die Menge [mm] M \subset \IR^n[/mm] enthalte einen inneren Punkt. Zeigen Sie, dass M keine Nullmenge sein kann. |
(Hinweis: Betrachtet wird die Lebesgue-Nullmenge)
Beweis:
Die Menge M enthält einen inneren Punkt.
[mm]\Rightarrow \exists[/mm] eine Umgebung [mm]U(x_0)[/mm], die ganz in M liegt.
Sei [mm]\epsilon > 0 [/mm] beliebig vorgegeben mit [mm]U_{\epsilon}(x_0) \subset U(x_0) \subset M[/mm].
Konstruiere einen kompakten Quader mit Kantenlänge [mm]\bruch{\epsilon}{2}[/mm] und Mittelpunkt in [mm]x_0[/mm]. Die Ecken des Quaders als zu [mm]x_0[/mm] entfernteste Punkte haben anschaulich die Distanz [mm]\wurzel{\bruch{3}{4}}\epsilon < \epsilon[/mm] zu [mm]x_0[/mm] und der Quader liegt damit komplett in der Kugel um [mm]x_0[/mm], welche wiederum komplett in M liegt.
Dieser konstruierte Quader [mm]Q_k[/mm] hat das Volumen [mm]V = \bruch{\epsilon^3}{8} = \nu > 0 [/mm]
Angenommen, M sei eine Nullmenge. Dann gilt:
[mm]\forall \delta > 0 \exists[/mm] Folge abgeschlossener Quader [mm]Q_i[/mm] mit [mm]M \subset \bigcup_{i=1}^{\infty} Q_i [/mm] und [mm]\summe_{i=1}^{\infty} vol_n(Q_i) < \delta[/mm].
Gleichzeitig gilt aber wegen [mm] vol(Q_k) [/mm] = [mm] \nu [/mm] : Es gibt keine offene Überdeckung von [mm]U_{\epsilon}(x_0) mit vol < \nu \Rightarrow \delta >= \nu[/mm] W.S. zur Definition der Nullmenge.
M kann also keine Nullmenge sein!
Ist dieser Beweis so schlüssig - und vor allem - korrekt?
Danke im Voraus und schöne Grüße,
Tobias
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:50 Mi 24.06.2009 | | Autor: | Merle23 |
> Die Menge [mm]M \subset \IR^n[/mm] enthalte einen inneren Punkt.
> Zeigen Sie, dass M keine Nullmenge sein kann.
> (Hinweis: Betrachtet wird die Lebesgue-Nullmenge)
>
> Beweis:
> Die Menge M enthält einen inneren Punkt.
> [mm]\Rightarrow \exists[/mm] eine Umgebung [mm]U(x_0)[/mm], die ganz in M
> liegt.
> Sei [mm]\epsilon > 0[/mm] beliebig vorgegeben mit [mm]U_{\epsilon}(x_0) \subset U(x_0) \subset M[/mm].
>
> Konstruiere einen kompakten Quader mit Kantenlänge
> [mm]\bruch{\epsilon}{2}[/mm] und Mittelpunkt in [mm]x_0[/mm]. Die Ecken des
> Quaders als zu [mm]x_0[/mm] entfernteste Punkte haben anschaulich
> die Distanz [mm]\wurzel{\bruch{3}{4}}\epsilon < \epsilon[/mm] zu [mm]x_0[/mm]
> und der Quader liegt damit komplett in der Kugel um [mm]x_0[/mm],
> welche wiederum komplett in M liegt.
>
> Dieser konstruierte Quader [mm]Q_k[/mm] hat das Volumen [mm]V = \bruch{\epsilon^3}{8} = \nu > 0[/mm]
>
> Angenommen, M sei eine Nullmenge. Dann gilt:
> [mm]\forall \delta > 0 \exists[/mm] Folge abgeschlossener Quader [mm]Q_i[/mm]
> mit [mm]M \subset \bigcup_{i=1}^{\infty} Q_i[/mm] und
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty} vol_n(Q_i) < \delta[/mm].
> Gleichzeitig gilt aber wegen [mm]vol(Q_k)[/mm] = [mm]\nu[/mm] : Es gibt keine
> offene Überdeckung von [mm]U_{\epsilon}(x_0) mit vol < \nu \Rightarrow \delta >= \nu[/mm]
> W.S. zur Definition der Nullmenge.
> M kann also keine Nullmenge sein!
>
> Ist dieser Beweis so schlüssig - und vor allem - korrekt?
>
Ich würde ja schon fast sagen, er ist überkorrekt.
Ich hätte beim dritten Schritt schon aufgehört, also da wo du sagst, dass es einen Ball [mm] U_{\epsilon}(x_0) [/mm] in M gibt.
Denn [mm]\lambda(M) \ge vol(U_{\epsilon}(x_0)) > 0[/mm].
> Danke im Voraus und schöne Grüße,
>
> Tobias
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