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Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - Nullmenge
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Nullmenge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:36 Do 19.11.2009
Autor: SusanneK

Aufgabe
Sei [mm] (\Omega,\mathcal{A},\mu) [/mm] ein Maßraum und seien [mm] f,g: \Omega \to \IR [/mm] zwei integriebare Funktionen.
Sei  [mm] A \in \mathcal{A} [/mm] mit [mm] \mu(\{w \in A | f(w) \le 0 \}) = 0[/mm] und [mm] \integral_{A}{f d \mu = 0} [/mm]

Zeigen Sie, dass A eine [mm] \mu-Nullmenge [/mm] ist.

Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.

Hallo,
da f integrierbar ist und das Integral über A=0 ist, gilt doch [mm] \mu(A)=0[/mm].
Und das wäre ja schon die Lösung ?
Das ist zu einfach - irgendwie fehlt noch f(w) [mm] \le [/mm] 0 - aber wie ?

Danke, Susanne.

        
Bezug
Nullmenge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:49 Do 19.11.2009
Autor: Merle23


> Sei [mm](\Omega,\mathcal{A},\mu)[/mm] ein Maßraum und seien [mm]f,g: \Omega \to \IR[/mm]
> zwei integriebare Funktionen.
>  Sei  [mm]A \in \mathcal{A}[/mm] mit [mm]\mu(\{w \in A | f(w) \le 0 \}) = 0[/mm]
> und [mm]\integral_{A}{f d \mu = 0}[/mm]
>  
> Zeigen Sie, dass A eine [mm]\mu-Nullmenge[/mm] ist.

>  
> Hallo,
>  da f integrierbar ist und das Integral über A=0 ist, gilt
> doch [mm]\mu(A)=0[/mm].

Nein. Wenn f "zu gleichen Teilen" positiv sowie negativ ist, dann heben sich diese Teile im Integral genau auf.

>  Und das wäre ja schon die Lösung ?
>  Das ist zu einfach - irgendwie fehlt noch f(w) [mm]\le[/mm] 0 -
> aber wie ?

Beachte das, was ich oben geschrieben habe.

LG, Alex

Bezug
                
Bezug
Nullmenge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:13 Do 19.11.2009
Autor: SusanneK

Hallo ALex,
vielen Dank für deinen Denkanstoss und Tipp.
Vielleicht habe ich es jetzt ja verstanden:

> > Sei [mm](\Omega,\mathcal{A},\mu)[/mm] ein Maßraum und seien [mm]f,g: \Omega \to \IR[/mm]
> > zwei integriebare Funktionen.
>  >  Sei  [mm]A \in \mathcal{A}[/mm] mit [mm]\mu(\{w \in A | f(w) \le 0 \}) = 0[/mm]
> > und [mm]\integral_{A}{f d \mu = 0}[/mm]
>  >  
> > Zeigen Sie, dass A eine [mm]\mu-Nullmenge[/mm] ist.
>  
> >  

> > Hallo,
>  >  da f integrierbar ist und das Integral über A=0 ist,
> gilt
> > doch [mm]\mu(A)=0[/mm].
>  
> Nein. Wenn f "zu gleichen Teilen" positiv sowie negativ
> ist, dann heben sich diese Teile im Integral genau auf.
>  
> >  Und das wäre ja schon die Lösung ?

>  >  Das ist zu einfach - irgendwie fehlt noch f(w) [mm]\le[/mm] 0 -
> > aber wie ?
>  
> Beachte das, was ich oben geschrieben habe.

f setzt sich zusammen aus [mm] f^+ [/mm] und [mm] f^-[/mm] , also [mm] f=f^++f^- [/mm]
Für die Integrale bedeutet das entsprechend:
[mm] \integral_{A}{f d \mu }=\integral_{A}{f^+ d \mu - \integral_{A}{f^- d \mu } = 0 [/mm]
Da [mm] f^- [/mm] und f laut Vorgabe das Mass 0 haben, muss auch [mm] f^+ [/mm] das Mass 0 haben damit die Glechung aufgeht und damit ist A eine [mm] \mu-Nullmenge. [/mm]

Stimmt das jetzt so ?

Danke, Susanne.

Bezug
                        
Bezug
Nullmenge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:51 Do 19.11.2009
Autor: koepper

Hallo Susanne,


> f setzt sich zusammen aus [mm]f^+[/mm] und [mm]f^-[/mm] , also [mm]f=f^++f^-[/mm]
>  Für die Integrale bedeutet das entsprechend:
>  [mm]\integral_{A}{f d \mu }=\integral_{A}{f^+ d \mu - \integral_{A}{f^- d \mu } = 0[/mm]
>  
> Da [mm]f^-[/mm] und f laut Vorgabe das Mass 0 haben, muss auch [mm]f^+[/mm]
> das Mass 0 haben damit die Glechung aufgeht und damit ist A
> eine [mm]\mu-Nullmenge.[/mm]

Dein Gedankengang ist ganz richtig, muss aber noch beweisfähig formuliert und begründet werden.

LG
Will

Bezug
                                
Bezug
Nullmenge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:03 Do 19.11.2009
Autor: SusanneK

Hallo Will,
vielen Dank fürs "Drüberschauen" und die Bestätigung !

LG, Susanne.

Bezug
                                        
Bezug
Nullmenge: f = f+ - f-
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:00 Do 19.11.2009
Autor: koepper

Hallo Susanne,

da war noch ein kleiner Tippfehler: $f = f^+ - f^-$

LG
Will

Bezug
                                                
Bezug
Nullmenge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:19 Fr 20.11.2009
Autor: SusanneK

Stimmt ;-), danke !

LG, Susanne.

Bezug
        
Bezug
Nullmenge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:14 Mi 25.11.2009
Autor: zeec

Mir ist nicht ganz klar, warum aus [mm] \integral_{A}{f d \mu = 0} [/mm] folgt, dass [mm] \mu(A)=0[/mm]. Kann nicht auch einfach [mm] f(A)=0[/mm] sein?

Kann mir jemand einen Tipp geben?
Danke!

Bezug
                
Bezug
Nullmenge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:49 Mi 25.11.2009
Autor: Merle23


> Mir ist nicht ganz klar, warum aus [mm]\integral_{A}{f d \mu = 0}[/mm]
> folgt, dass [mm]\mu(A)=0[/mm]. Kann nicht auch einfach [mm]f(A)=0[/mm] sein?
>  

Doch, kann sein. Aber dann folgt mit der einen Voraussetzung aus der Aufgabe ebenfalls, dass [mm] \mu(A)=0. [/mm]

LG, Alex

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