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| Aufgabe | Sei [mm] \IK\in\{\IK,\IC\} [/mm] ein Körper und seinen [mm] A\in\IK^{n,m}, B\in\IK^{m,l} [/mm] Matrizen. [mm] n,m,l\in\IN. [/mm] Zeigen Sie:
Wenn gilt [mm] Ax=0_{\IK^n} [/mm] für alle [mm] x\in \IK^m, [/mm] dann ist [mm] A=0_{\IK^{n,n}} [/mm] |
Hallo zusammen,
Wie man Matrix und Vektor multipliziert ist mir klar, man „legt“ den Spaltenvektor jeweils über die Matrixzeilen, multipliziert komponentenweise und addiert alles in jeder Komponente. Intuitiv scheint diese Aussage auch klar zu sein, allerdings gibt es ja auch Ausnahmefälle, in denen die Matrix A nicht die Nullmatrix ist und am Ende trotzdem 0 rauskommt, weil sich zufällig alle Komponenten zu Null addieren.
Wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte, das zu begründen (bzw. mathematisch zu beweisen, wenn das nötig ist)
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:25 So 30.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei [mm]\IK\in\{\red{\IK},\IC\}[/mm]
da steht sicher [mm] $\IR$ [/mm] anstatt [mm] $\red{\IK}\,,$ [/mm] oder?
> ein Körper und seinen [mm]A\in\IK^{n,m}, B\in\IK^{m,l}[/mm]
> Matrizen. [mm]n,m,l\in\IN.[/mm] Zeigen Sie:
> Wenn gilt [mm]Ax=0_{\IK^n}[/mm] für alle [mm]x\in \IK^m,[/mm] dann ist
> [mm]A=0_{\IK^{n,n}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Letzteres macht auch nur Sinn wenn $A=0_{\IK^{n,\green{m}}}\,,$ zum einen, weil $x \in \IK^m\,,$ zum anderen, weil anfangs eh da steht $A \in \IK^{n,m}\,.$
> Hallo zusammen,
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> Wie man Matrix und Vektor multipliziert ist mir klar, man
> „legt“ den Spaltenvektor jeweils über die
> Matrixzeilen, multipliziert komponentenweise und addiert
> alles in jeder Komponente. Intuitiv scheint diese Aussage
> auch klar zu sein, allerdings gibt es ja auch
> Ausnahmefälle, in denen die Matrix A nicht die Nullmatrix
> ist und am Ende trotzdem 0 rauskommt, weil sich zufällig
> alle Komponenten zu Null addieren.
>
> Wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte, das zu
> begründen (bzw. mathematisch zu beweisen, wenn das nötig
> ist)
Naja, wofür man $B\,$ hier überhaupt braucht: Keine Ahnung. Diese Matrix findet ja keine Verwendung...
Die Aufgabe ist relativ harmlos. Man kann den folgenden "Algorithmus" (siehe $(\star)$ unten) auch benutzen, um nachzurechnen, dass alle Einträge $a_{i,j}$ der Matrix $A\,$ den Wert $0\,$ haben, aber ich liefere Dir dennoch erstmal eine etwas "theoretischere" Begründung:
Die (Spalten-)Vektoren
$$\blue{e^{(1)},\ldots,e^{(m)}}$$
definiert durch (beachte: das ${\,}^T$ steht im folgenden für "transponiert")
$$e_j^{(p)}:=(\delta_{j,p})_{j=1}^m^T\;\;\;\; \text{ (}p \in \{1,\ldots,m\}\text{ fest)\,,$$
wobei rechterhand das Kronecker-Delta Symbol steht, kurz:
$$e^{(p)}=(0,0,\ldots,0,1_{\IK},0,\ldots,0)^T$$
mit der $1_{\IK}$ an der $p\,$-ten Stelle, d.h. der "$p\,$-te Einheitsvektor des $\IK^m$" (also derjenige, der nur Nullen hat außer an der $p\,$-ten Stelle, dort steht die $1_{\IK}\,$)
bilden eine Basis des $\blue{\IK^m\,.}$ Nach Voraussetzung gilt insbesondere
$$A*e^{(j)}=0_{\IK^n}$$
für jedes $j \in \{1,\ldots,m\}\,.$ Weil $\{e^{(1)},\ldots,e^{(m)}\}$ aber als Basis des $\IK^m$ insbesondere auch ein Erzeugendensystem ist, ist die lineare Abbildung $f(x)=Ax$ ($x \in \IK^m$) durch Angabe der Bilder $f(e^{(j)})$ ($j=1,\ldots,m$) schon eindeutig bestimmt, d.h. $f(\IK^m)$ ist nichts anderes als die Menge aller Linearkombinationen dieser Bilder. Daraus folgt aber wegen $f(e^{(j)})=0_{\IK^n}$ ($j=1,\ldots,m$) schon $f=0_{\IK^n}$ und daher muss $A=0_{\IK^{n, m}}$ sein.
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$(\star)$ Alternative:
Berechne mal $A*e^{(j)}$ ($j=1,\ldots,m$). Das ergibt genau die $j\,$-te Spalte von $A\,.$ Daraus folgt dann
$\bullet$ für $j=1\,$: die erste Spalte von $A\,$ muss (wegen $A*e^{(1)}=0_{\IK^n}$) identisch mit dem Nullvektor $0_{\IK^n} \in \IK^n$ sein, also durch Eintrags- (bzw. Zeilen-)Vergleich folgt $a_{p,1}=0$ für $p=1,\ldots,n\,.$
$\bullet$ für $j=2\,$: die zweite Spalte von $A\,$ muss (wegen $A*e^{(2)}=0_{\IK^n}$) identisch mit dem Nullvektor $0_{\IK^n} \in \IK^n$ sein, also durch Eintrags- (bzw. Zeilen-)Vergleich folgt $a_{p,2}=0$ für $p=1,\ldots,n\,.$
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$\bullet$ für $j=m\,$: die $m\,$-te Spalte von $A\,$ muss (wegen $A*e^{(m)}=0_{\IK^n}$) identisch mit dem Nullvektor $0_{\IK^n} \in \IK^n$ sein, also durch Eintrags- (bzw. Zeilen-)Vergleich folgt $a_{p,m}=0=0_{\IK}$ für $p=1,\ldots,n\,.$
Also gilt $a_{p,j}=0=0_{\IK}$ für alle $(p,j) \in \{1,\ldots,n\} \times \{1,\ldots,m\}\,,$ d.h. $A=0_{\IK^{n,m}}\,.$
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:42 So 30.01.2011 | | Autor: | Theoretix |
Vielen Dank für die Antwort, hat mir sehr geholfen!
Gruß
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