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| Aufgabe | | Es sei [mm] $(x_k)$ [/mm] eine nichtnegative Folge, sodass [mm] $\sum x_k$ [/mm] konvergiert. Man zeige, dass [mm] $\lim k*x_k=0$. [/mm] |
Hallo,
ich habe keinen vernünftigen Ansatz. Ich habe versucht, auszunutzen, dass [mm] $s_n=\sum_{k\le n}x_k$ [/mm] Cauchy ist, auf diese Weise erhalte ich z.B. dass [mm] $x_k+x_{k+1}+\dots+x_{2k}\to [/mm] 0$ für [mm] $k\to\infty$, [/mm] aber das genügt noch nicht. Habt ihr einen Tipp?
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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Hiho,
das geht durch einen einfachen Widerspruchsbeweis:
Nimm an [mm] $kx_k \not\to [/mm] 0$, schreibe da sauber per Definition auf und du erhältst [mm] $x_k [/mm] > [mm] \bruch{\varepsilon}{k}$ [/mm] für unendlich viele k und ein [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$
Gruß,
Gono
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Ich danke euch! Tobit für die Berichtigung - das war mein Fehler, nicht der des Aufgabenstellers - und Fred für die Hintergrund-Info. Ich habe den Beweis auf Wikipedia gelesen. Nach dem Absenden habe ich selbst noch einmal versucht, die Kontraposition zu zeigen, wie Gonozal es vorschlägt und würde gerne noch versuchen, das zu Ende zu brigen. Für [mm] $k_1,k_2,\dots$ [/mm] gelte [mm] $x_{k_j}>\varepsilon/k_j$. [/mm] Meine einzige Idee wäre es, die Reihe
[mm] $x_1+\dots+x_{k_1}+\dots+x_{k_2}+\dots$ [/mm] nach unten abzuschätzen und die Divergenz von [mm] $\sum [/mm] 1/k$ zu verwenden. Leider bekomme ich das nicht hin. Habt ihr nochmal einen Anstoß?
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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Hiho,
es gilt für alle [mm] k_j:
[/mm]
[mm] $\summe_{k \in \IN} x_k [/mm] = [mm] \summe_{k \le k_j} x_k [/mm] + [mm] \summe_{k > k_j} x_k [/mm] > [mm] \summe_{k \le k_j} \bruch{\varepsilon}{k_j} [/mm] + [mm] \summe_{k > k_j} x_k [/mm] = [mm] \bruch{\varepsilon}{2}(k_j [/mm] + 1) + [mm] \summe_{k > k_j} x_k \to \infty$
[/mm]
Gruß,
Gono
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Hi,
woher kommt denn das Epsilon Halbe? Ansonsnten wäre es mir klar.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hiho,
es ist $\summe_{k\le k_j}\bruch{\varepsilon}{k_j} = \bruch{\varepsilon}{k_j} }\summe_{k\le k_j} 1 = \bruch{\varepsilon}{k_j}\bruch{k_j(k_j + 1)}{2}$
Gruß,
Gono
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Ist nicht [mm] $\sum_{k\le k_j}1=k_j$? [/mm] Oder bin ich blind?
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:37 Mi 27.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Ist nicht [mm]\sum_{k\le k_j}1=k_j[/mm]?
Ja
> Oder bin ich blind?
Nein.
FRED
>
> Liebe Grüße,
> UniversellesObjekt
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:41 Mo 25.05.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zusammen!
> Es sei [mm](x_k)[/mm] eine nichtnegative Folge, sodass [mm]\sum x_k[/mm]
> konvergiert. Man zeige, dass [mm]\lim k*x_k=0[/mm].
Die Aussage aus der Aufgabenstellung stimmt schlichtweg nicht:
Betrachte etwa
[mm] $x_k:=\begin{cases}\frac{1}{k}&\text{ falls }k\text{ eine Zweierpotenz ist}\\0&\text{sonst}\end{cases}$.
[/mm]
Dann gilt
[mm] $\sum_{k\in\IN}x_k=\sum_{\substack{k\in\IN\\k\text{ ist Zweierpotenz}}}\frac{1}{k}=\sum_{m\in\IN_0}\frac{1}{2^m}=\sum_{m\in\IN_0}\left(\frac{1}{2}\right)^m=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2<\infty$,
[/mm]
aber die Folge [mm] $(k*x_k)_{k\in\IN}$ [/mm] enthält unendlich viele Folgenglieder mit Wert 1 (nämlich zu allen Indizes $k$, die Zweierpotenzen sind) und ist somit keine Nullfolge.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:19 Mo 25.05.2015 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hallo Tobias,
erst wollte ich widersprechen, da ich diese Aufgabe schon öfter gesehen hab. Dann fiel mir auf, dass das letzte mal von einer monoton fallenden Folge [mm] x_k [/mm] gesprochen wurde.
Dann stimmt die Aussage auch.
Insofern: Gute Korrektur.
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:07 Mo 25.05.2015 | | Autor: | fred97 |
Ohne die monotonie der folge ist die aussage falsch, das hat tobit scon gesagt.
Mit der monotonie ist es der Satz von Olivier ( man google mal danach)
Fred
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