Nullfolge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei [mm] a_{n} [/mm] eine reelle Folge und [mm] a_{n} \not= [/mm] 0 für alle n [mm] \in \IN. [/mm] Angenommen es gibt ein q [mm] \in \IR [/mm] mit 0 < q 1 und ein n [mm] \in \IN, [/mm] so dass
[mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}| [/mm] < q für alle n > [mm] \IN [/mm] gilt.
Beweisen Sie, dass [mm] a_{n} [/mm] eine Nullfolge ist.
|
In der Aufgabe geht es ja darum, zu beweisen, dass die Folge gegen Null konvergiert.
Das Problem ist nur, dass ich vor lauter Betragszeichen den Durchblick verliere. Ich könnte ja z.B. q gleich [mm] \varepsilon [/mm] setzen, um möglichst nahe an 0 zu kommen mit dem Betrag selbst, da ja q > 0 und q < 1 gilt.
Wenn ich jetzt das n suche, dann finde ich das ziemlich schwierig und abstrakt. Sieht fast nach Induktion aus. Aber auch da weiss ich grad nicht so richtig weiter. Hat jemand einen Tipp für mich?
Vielen Dank
Michael
|
|
| |
|
Hallo,
fange so an:
Wir haben:
[mm] $\left| \frac{a_{n+1}}{a_n}\right| [/mm] < q$
Damit folgt:
[mm] $\left| a_{n+1} \right| [/mm] < q [mm] |a_n| [/mm] < [mm] q^2 |a_{n-1}| [/mm] < ... < [mm] q^{n+1} |a_0| [/mm] $
Und du weißt bestimmt wogegen [mm] $\lim_{n\to\infty} q^n$ [/mm] konvergiert mit [mm] $q\in(0,1)$.
[/mm]
Gruß Patrick
|
|
|
|
