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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:04 Mi 05.11.2008 | | Autor: | ri3k |
| Aufgabe | Zeigen sie,dass fie Folge [mm] (a_{n}) [/mm] mit [mm] a_{n}=\wurzel{n+1}-\wurzel{n}
[/mm]
eine Nullfolge ist. |
Hi irgendwie hänge ich hier bei dem lösungsweg.
oder evtl ist der ansatz auch komplett flasch.
[mm] |a_{n}-0|<\varepsilon
[/mm]
[mm] \wurzel{n+1}-\wurzel{n}<\varepsilon
[/mm]
[mm] (\wurzel{n+1}-\wurzel{n})*\bruch{(\wurzel{n+1}+\wurzel{n})}{(\wurzel{n+1}+\wurzel{n})}<\varepsilon
[/mm]
[mm] \bruch{(n+1-n)}{(\wurzel{n+1}+\wurzel{n})}<\varepsilon
[/mm]
[mm] \bruch{1}{(\wurzel{n+1}+\wurzel{n})}<\varepsilon [/mm] so und was kommt nun??
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Hallo ri3k,
> Zeigen sie,dass fie Folge [mm](a_{n})[/mm] mit
> [mm]a_{n}=\wurzel{n+1}-\wurzel{n}[/mm]
> eine Nullfolge ist.
> Hi irgendwie hänge ich hier bei dem lösungsweg.
>
> oder evtl ist der ansatz auch komplett flasch.
Musst du denn über die [mm] $\varepsilon$-Definition [/mm] gehen?
Deine Folge und auch deine Umformung ist nämlich bestens geeignet, die Grenzwertsätze auszunutzen.
Nach deiner richtigen Umformung hast du am Ende [mm] $a_n=...=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$
[/mm]
Klammere hier im Nenner [mm] $\sqrt{n}$ [/mm] aus und du hast [mm] $...=\frac{1}{\sqrt{n}\cdot{}\left(\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1\right)}\longrightarrow \frac{1}{\infty\cdot{}(1+0+1)}=\frac{1}{\infty}=0$ [/mm] für [mm] $n\to\infty$
[/mm]
Also GW 0
>
>
> [mm]|a_{n}-0|<\varepsilon[/mm]
>
> [mm]\wurzel{n+1}-\wurzel{n}<\varepsilon[/mm]
>
> [mm](\wurzel{n+1}-\wurzel{n})*\bruch{(\wurzel{n+1}+\wurzel{n})}{(\wurzel{n+1}+\wurzel{n})}<\varepsilon[/mm]
>
>
> [mm]\bruch{(n+1-n)}{(\wurzel{n+1}+\wurzel{n})}<\varepsilon[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{(\wurzel{n+1}+\wurzel{n})}<\varepsilon[/mm] so und was
> kommt nun??
Gut, es soll also [mm] $\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$ [/mm] nach oben abgeschätzt werden.
Dazu kannst du den Zähler vergrößern oder den Nenner verkleinern
Es bietet sich an, den Nenner zu verkleinern
[mm] $\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\le\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}$ [/mm] denn [mm] $\sqrt{n}<\sqrt{n+1}$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{2\sqrt{n}}\overset{!}{<}\varepsilon$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{n}}\overset{!}{<}2\varepsilon$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \sqrt{n}\overset{!}{>}\frac{1}{2\varepsilon}$
[/mm]
Beachte, dass sich beim Übergang zum Kehrbruch das Relationszeichen umdreht !
[mm] $\Rightarrow n\overset{!}{>}\frac{1}{4\varepsilon^2}$
[/mm]
Das ist nur eine Nebenrechnung für das Schmierblatt, nun sauber aufschreiben.
Sei [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] beliebig, wähle [mm] $n_0>\frac{1}{4\varepsilon^2}$, [/mm] etwa [mm] $n_0:=\left[\frac{1}{4\varepsilon^2}\right]+1$ [/mm] ([] ist die Gaußklammer)
Dann gilt für alle [mm] $n\ge n_0: |a_n-0|=|a_n|=..\le [/mm] ... < [mm] \varepsilon$
[/mm]
Das fülle schön mit der Abschätzung auf, dann passt das schon 
LG
schachuzipus
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