Nullfolge < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:36 Sa 02.06.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
| Aufgabe | | Finden Sie eine Nullfolge [mm] (a_{k})_{k\in\IN}, [/mm] die nur aus positiven reellen Zahlen besteht, sodass die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{n}(-1)^k a_{k} [/mm] nicht konvergiert. |
Hallo zusammen,
die o.g. Aufgabe ist eine Zusatzaufgabe.
Hat jemand eine Idee? Hier braucht man doch eigentlich nur eine Nullfolge hinzuschreiben für die das oben genannte gilt, ohne Beweis?!?!?
Die Nullfolge [mm] \bruch{1}{n^2} [/mm] ist offensichtlich eine Nullfolge, aber wie soll denn jetzt gelten, dass
die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{n}(-1)^k a_{k} [/mm] nicht konvergiert.???
Bitte um Hilfe...
Viele Grüße
Bodo0686
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:09 Sa 02.06.2007 | | Autor: | max3000 |
Gibts das überhaupt?
Das wiederspricht sich doch mit dem Leibnitzkriterium:
Sei [mm] (a_{n}) [/mm] monoton fallend und [mm] a_{n}\to0, [/mm] dann ist [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}a_{n} [/mm] konvergent.
Deine Vorraussetzungen sind: Nullfolge und positive Folgendglieder.
Das ist ja eigentlich das selbe, wie eine monoton fallende Nullfolge, oder gibt es da vielleicht eine Ausnahme?
Ich denke jetzt zum Beispiel an eine Funktion, die immer wieder hoch und runterspringt, also für gerade Zahlen zum Beispiel eine schwach konvergierende Nullfolge besitzt und für ungerade eine extrem stark konvergierende. Damit sind die Folgenglieder immer noch positiv und konvergieren gegen 0, aber nicht mehr monoton fallend. So eine Reihe könnte evtl. divergieren.
Zum Beispiel: für gerade Folgenglieder: 1, 0.5, 0.25, 0.125, ... sprich [mm] \bruch{1}{n-1} [/mm] (diese "Teilreihe" ist dann die harmonische Reihe und divergent
und für die ungeraden Folgenglieder 1, 1/4, 1/9, 1/16, ... sprich [mm] \bruch{1}{n^{2}}
[/mm]
Beides positive Nullfolgen und wenn man diese jetzt zu einer gemeinsamen Reihe zusammenfügt, wird sie denk ich mal divergent.
Diese Idee wäre für mich eigentlich der einzige logische Ansatz, dass man aus deinen Vorraussetzungen die Ausnahmen zur Leibnitz-vorraussetzung herausfiltert.
Was denken die anderen?
Gruß
Max
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:19 Sa 02.06.2007 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hi Max,
ein Kriterium im Leibnitz-Kriterium ist die monotonie der Nullfolge. Wenn du dir nun also eine Nullfolge konstruierst, die NICHT monoton ist, findet man ein Gegenbeispiel (siehe ![[]](/images/popup.gif) hier)
MfG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:29 Sa 02.06.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
Hey,
ich hab nochmal "genau aufs Blatt geschaut"  da steht tatsächlich ein unendlich über der Summe!
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}(-1)^k [/mm] so stimmts...
sorry...
|
|
|
| |
|
Na hast du jetzt noch ne Frage oder reicht dir die Antwort?^^
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:35 Sa 02.06.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
Also mir persönlich reicht diese Antwort....
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:39 Sa 02.06.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
oder vielleicht hab ich jetzt doch noch ne Frage...
Wie schaut jetzt meine Nullfolge aus, die ich angeben soll?
[mm] \bruch{1}{n} [/mm] vielleicht, im Hinblick auf das "verlinkte Beispiel"???
Wäre gut wenn du mir da noch ne passende Antwort zu liefern könntest!
Oder kann ich das einfach so abschreiben...
|
|
|
| |
|
Nee, bei [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} [/mm] würde die Reihe konvergieren, nicht divergieren. Dein Beispiel ist echt:
[mm] a_n [/mm] = [mm] \begin{cases} 0, & \mbox{für } n = 0 \\ \bruch{2}{n}, & \mbox{für } n \mbox{ gerade aber } \not= 0 \\ \bruch{4}{(n+1)^2}, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:50 Sa 02.06.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
Ok, jetzt hab ichs auch gemerkt und gesehn...
Merci... 
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:39 Sa 02.06.2007 | | Autor: | max3000 |
Hab ich doch auch gemacht xD
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:16 Sa 02.06.2007 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
ist in der Aufgabenstellung ein Fehler drin? Denn endliche Summen konvergieren immer, und da du nur die Summe [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] betrachtest, konvergiert diese immer.
MfG,
Gono.
|
|
|
| |
|
Hiho,
ich geh mal davon aus, daß du die unendliche Summe meinst
Ein Beispiel findest du hier.
|
|
|
|
