Nullfolge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:36 Di 02.01.2007 | | Autor: | lene233 |
| Aufgabe | Man beweise: Sei [mm] (a_{n}) [/mm] eine beliebige Folge in [mm] \IR_{>0} [/mm] und [mm] x_{n}:= \summe_{k=0}^{n} (a_{k}+\bruch{1}{a_{k}}) (n\in\IN)
[/mm]
Dann ist [mm] \bruch{1}{x_{n}} [/mm] eine Nullfolge. |
Hallo,
Ansätze habe ich hier stehen, nämlich:
[mm] \forall \varepsilon [/mm] >0 [mm] \exists n_{0} \in \IN \forall [/mm] n [mm] \ge n_{0}: |\bruch{1}{x_{n}}| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
Für alle [mm] a\in\IR_{>0} [/mm] gilt:
[mm] (a+1)^{2} \ge [/mm] 0
Der nächste Schritt ist
[mm] a^{2}+1 \ge [/mm] 2a
Meine Fragen sind:
1. Wie kommt man auf das [mm] (a+1)^{2} [/mm] ?
2. wenn ich das nun ausmultiplizieren würde, käme ja heraus: [mm] a^{2}+2a+1. [/mm] Nun steht da aber auf der rechten seite ein positives 2a. Wie kann das sein bei Umformung? Hat das was mit Abschätzung oder damit, dass [mm] a\in\IR_{>0} [/mm] zu tun?
lg lene
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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> Man beweise: Sei [mm](a_{n})[/mm] eine beliebige Folge in [mm]\IR_{>0}[/mm]
> und [mm]x_{n}:= \summe_{k=0}^{n} (a_{k}+\bruch{1}{a_{k}}) (n\in\IN)[/mm]
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> Dann ist [mm]\bruch{1}{x_{n}}[/mm] eine Nullfolge.
> Hallo,
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> Ansätze habe ich hier stehen, nämlich:
>
> [mm]\forall \varepsilon[/mm] >0 [mm]\exists n_{0} \in \IN \forall[/mm]
> n [mm]\ge n_{0}: |\bruch{1}{x_{n}}|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
Hallo,
daß ist das, was man zeigen möchte, nämlich [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{x_n}=0.
[/mm]
Ich würde die Aufgabe wie folgt angehen:
1. Zunächst würde ich mir überlegen, daß stets [mm] a_k+\bruch{1}{a_k}>1 [/mm] gilt.
2. Wenn das so ist, ist [mm] x_{n}:= \summe_{k=0}^{n}(a_{k}+\bruch{1}{a_{k}}\ge [/mm] ...
3. [mm] 0
4. Also ist [mm] 0<\bruch{1}{x_n}<...
[/mm]
5. Jetzt den Grenzwert.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:12 Di 02.01.2007 | | Autor: | lene233 |
danke :)
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