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Forum "Integralrechnung" - Nulldivision - Logarithmus
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Nulldivision - Logarithmus: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:39 Fr 24.04.2009
Autor: rabilein1

Aufgabe
Meine Freunde Werner und Oskar hatten neulich einen Streit. Es ging dabei um die Division durch NULL bzw. um das Integral von EINS durch X.

Werner:
Von EINS durch X kann man kein Integral bilden.
Weil: EINS durch X ist ja X hoch Minus EINS.
Das Integral davon wäre dann X hoch NULL dividiert durch NULL.
Und durch NULL darf man nicht dividieren. Also gibt es kein Integral von EINS durch X.

Oskar:
Das Integral von EINS durch X ist der Natürliche Logarithmus von X.

Werner:
Was du da behauptest, ist ganz schön frech.
Nicht umsonst sagt man: „Frech wie Oskar.“

Aber nun gut. Mal angenommen, das Integral von EINS durch X ist wirklich der Natürliche Logarithmus von X.

Dann müsste ja die Ableitung vom Natürlichen Logarithmus von X auch EINS durch X sein.

Und nun mal angenommen, du hättest Recht (was ich ja nicht glaube) ....  
Also: der Natürliche Logarithmus von e hoch X ist X.
Und die Ableitung von X ist EINS. Dann müsste ....

Oskar:
Na, weiter... !
Also: Nach der Kettenregel ist dann die Ableitung des Natürlichen Logarithmus von e hoch X => die Ableitung von e hoch X (= e hoch X) mal EINS durch e hoch X.

Und das ist EINS...

Werner:
Hääääääähhhhh ???          

Oskar:
Höhö – das ist also der Beweis, dass das Integral von EINS durch X ist der Natürliche Logarithmus von X ist.

Ich hasse ja bekanntlich Beweise. Daher kann ich auch nicht beurteilen, ob Oskar mal wieder Werner einen Bären aufgebunden hat. Oder ob obiges wirklich als „Beweis“ gilt.      

        
Bezug
Nulldivision - Logarithmus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:54 Fr 24.04.2009
Autor: fred97

Die Geschichte ganz kurz:

Es ist  

                    [mm] $e^{lnx} [/mm] = x$ für jedes x> 0

Die kettenregel liefert

                     [mm] $e^{lnx}(lnx)' [/mm] = 1$ für jedes x> 0

Somit

                     $x(lnx)' = 1$ für jedes x> 0.

Daher

                      $(lnx)' = 1/x$ für jedes x> 0.

FRED



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