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Forum "Differenzialrechnung" - Null-, Polstellen, Asymptoten
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Null-, Polstellen, Asymptoten: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:21 Di 30.01.2007
Autor: Mone25

Aufgabe
Untersuchen Sie die Funktion auf Nullstellen, Polstellen und Asymptoten. Berechnen Sie auch noch zusätzlich den Funktionswert f(0).

f: x -> [mm] \bruch{2x-5}{x-3} [/mm]

Hallo,
ich rechne nun die Aufgabe schon x-mal, aber irgendwie bin ich mir recht unsicher, ob das alles stimmt, wie ich's angehe. Also...

...f: x -> 2x-5 / x-3 ; Df=R \ {3}

Nullstellen:  
             0=2x-5 / x-3
             0=(2x-5):(x-3) |*(x-3)
             0=2x-5         |+5
             5=2x           |:2
             x=2,5  <-- 1. Nullstelle

   0=(2x-5):(x-3)
   0=2x+ 5/3       |-5/3
-5/3=2x            |:2
   x=-5/6            <-- 2. Nullstelle

Asymptotisches Verhalten:

[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{2x-5}{x-3} [/mm]

                           [mm] \bruch{x}{x}* \bruch{2-5}{-3}= [/mm]
                          
                            = [mm] \bruch{-3}{-3}= [/mm]

                            =1

Funktionswert f(0):

f(x) = 2x-5 / x-3
f'(x)= 2/1
0 = 2



Soweit bin ich gekommen...hoffentlich sind die Lösungsschritte verständlich!

Über jede Hilfe und jeden Hinweis bin ich dankbar!

LG,
Mone

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
            
            

        
Bezug
Null-, Polstellen, Asymptoten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:40 Di 30.01.2007
Autor: M.Rex

Hallo

> Untersuchen Sie die Funktion auf Nullstellen, Polstellen
> und Asymptoten. Berechnen Sie auch noch zusätzlich den
> Funktionswert f(0).
>  
> f: x -> [mm]\bruch{2x-5}{x-3}[/mm]
>  Hallo,
> ich rechne nun die Aufgabe schon x-mal, aber irgendwie bin
> ich mir recht unsicher, ob das alles stimmt, wie ich's
> angehe. Also...
>  
> ...f: x -> 2x-5 / x-3 ; Df=R \ {3}
>  
> Nullstellen:  
> 0=2x-5 / x-3
>               0=(2x-5):(x-3) |*(x-3)
>               0=2x-5         |+5
>               5=2x           |:2
>               x=2,5  <-- 1. Nullstelle

Korrekt, aber das ist auch die einzige Nullstelle. Der Bruch wird dann gleich Null, wenn der Zähler Null wird.

>  
> 0=(2x-5):(x-3)
>     0=2x+ 5/3       |-5/3
>  -5/3=2x            |:2
>    x=-5/6            <-- 2. Nullstelle

Nee, siehe oben.

>  
> Asymptotisches Verhalten:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{2x-5}{x-3}[/mm]
>  
> [mm]\bruch{x}{x}* \bruch{2-5}{-3}=[/mm]

Das funktioniert so nicht. Du kannst den Brich nicht so auflösen.
                            

> = [mm]\bruch{-3}{-3}=[/mm]
>  
> =1

Um die Asymptote herauszufinden, musst du den Zähler durch den Nenner teilen, also die Polynomdivision machen. Also:

[mm] (2x-5):(x-3)=\red{2}+\bruch{1}{x-3} [/mm]

Der rot markierte, nicht gebrochen-rationale Teil ist die Asymptote, also y=2.
Begründung:

=
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}{\bruch{2x-5}{x-3}} [/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow\infty}{2+\bruch{1}{x-3}} [/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow\infty}{2}+\limes_{x\rightarrow\infty}{\bruch{1}{x-3}} [/mm]
=2+0
=2

>
> Funktionswert f(0):
>
> f(x) = 2x-5 / x-3
>  f'(x)= 2/1
>  0 = 2

Was willst du damit sagen. Wozu die Ableitung.

[mm] f(0)=\bruch{2+0-5}{0-3}=\bruch{5}{3} [/mm]


>


Du hast noch die Polstellen, also die Nullstellen des Nenners vergessen.

>
>
> Soweit bin ich gekommen...hoffentlich sind die
> Lösungsschritte verständlich!
>  
> Über jede Hilfe und jeden Hinweis bin ich dankbar!
>  
> LG,
>  Mone
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>              
>  

Marius

Bezug
                
Bezug
Null-, Polstellen, Asymptoten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:37 So 04.02.2007
Autor: Mone25

Hallo Marius,

vielen lieben Dank für deine Korrekturlesung und die Hinweise! Ich werd mir jetzt nochmal alles in Ruhe anschauen, und vielleicht klappts ja dann.

LG, Mone

Bezug
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