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Forum "Ganzrationale Funktionen" - Nration. Funktion -> Rational
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Nration. Funktion -> Rational: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:16 Mo 18.11.2013
Autor: sinnlos123

Hallo, eine weitere relativ simple Frage:

wie kann ich [mm] f(x)=[x^3] [/mm] ; (gemeint ist hier Betragsstriche, weiss leider nicht wie man die mit ner englischen tastatur schreibt)
in eine ganzrationale Funktion "umwandeln"

Mein Ansatz waere:
[mm] f(x)=(sqrt(x^2))^3 [/mm] ; die Frage ist, waere das ganzrational, und 2. MUSS man immer potenzen wegkuerzen, und 3. waere der Grad der Funktion _3_ oder ist der Grad in der Form nicht zu bestimmen?

Warum ich das ueberhaupt moechte ist eine Aussage die es zu wiederlegen oder zu beweisen gilt: Jede _ganzrationale_ Funktion mit ungeradem Grad hat einen Schnittpunkt mit der x-Achse.

Den Schnittpunkt kann man ja einfach vermeiden wenn man an obiges '+1' dranhaengt, doch das ist eher nebensaechlich ;)

Vielen Dank im Vorraus

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
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Nration. Funktion -> Rational: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:27 Mo 18.11.2013
Autor: leduart

Hallo
1. Wurzeln sind nicht rational!
2. aus [mm] |x^3| [/mm] kannst du keine "normale! rationale fkt "machen!!
das siehst du schon daran, dass der Satz richtig ist, aber nicht für die Betragsfkt.
ungerader höchster Exponent, heisst für x gegen [mm] +\infty [/mm] und gegen [mm] -\infty [/mm] hat die fkt verschiedene Vorzeichen, also  muss sie -da stetig-  die x-achse mindestens 1 mal schneiden.
Gruss leduart

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Nration. Funktion -> Rational: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:38 Mo 18.11.2013
Autor: sinnlos123

Hi, sind Wurzeln deshalb nicht rational, weil ihr ergebnis + oder - ist ?
genau das wollte ich ja eigentlich vermeiden, sozusagen aus [mm] x^3 [/mm] ne 'Parabel' machen (das was eig. ins - geht einfach 'nach oben klappen' )

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Nration. Funktion -> Rational: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:53 Mo 18.11.2013
Autor: leduart

Hallo
[mm] \wurzel(2) [/mm] ist im allgemeinen die erste irrationale Zahl, die man kennenlernt!
dadurch, dass du den Betrag (mit der positiven! Wurzel umschreibst hast du immer noch keine rationale fkt,
f(x)=x schneidet die x-Achse, f(x)=|x| nicht,  was rationale fkt sind ist definiert! als summe über n mit [mm] a_nx^n [/mm] und keinerlei andere! also [mm] a_n*x^n+a_{n-1}x^{n-1}+....+a_2x^2+a_1x+a_0 [/mm]
und nur um die geht es in deinem Satz.
Gruss leduart

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Nration. Funktion -> Rational: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:20 Di 19.11.2013
Autor: sinnlos123

Achso, diese Defnition ganzration. Zahlen (Funktionen) kannte ich nicht.
Dann hat sich das ja erledigt, vor allem weil bei f(x)=[x] kaemen ja 2 'striche' raus die senkrecht zueinander sind und im Punkt 0/0 2 verschiedene Steigungen haette (je nachdem von wo man sich naehert)

Eine andere Frage: ganzrational heisst aber nicht, dass nur rationale Werte fuer Schnitt/Extrem/Wendepunkte rauskommen oder?
Also bei f(x)=0 kann durchaus irgendein 'krummes' x rauskommen (?)

Achso noch etwas:
Sind Brueche wie 1/3 irrational? Oder nur nichtperiodisierende Zahlen wie pi, wurzel von 2 etc. ?

Bezug
                                        
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Nration. Funktion -> Rational: rationale Zahlen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:25 Di 19.11.2013
Autor: Loddar

Hallo sinnlos123!


> Eine andere Frage: ganzrational heisst aber nicht, dass nur
> rationale Werte fuer Schnitt/Extrem/Wendepunkte rauskommen oder?

Nein, das heißt es nicht.
Denn ganz-rationale Funktionen (oder auch []Polynomfunktionen) sind i.d.R. auch für nicht-rationale Zahlen definiert bzw. nehmen nicht-rationale Werte an.


> Also bei f(x)=0 kann durchaus irgendein 'krummes' x rauskommen (?)

[daumenhoch]


> Achso noch etwas:
> Sind Brueche wie 1/3 irrational?

Da die "rationalen Zahlen" [mm] $\IQ$ [/mm] genau als diejenigen Zahlen definiert sind, welche sich als Verhältnis zweier Zahlen (sprich: als Bruch mit ganzzahligem Zähler und Nenner) darstellen lassen, ist [mm] $\tfrac{1}{3}$ [/mm] ein absolut klassischen Beispiel einer rationalen Zahl.

> Oder nur nichtperiodisierende Zahlen wie pi, wurzel von 2 etc. ?

[ok] "nur" ist gut. ;-)


Gruß
Loddar

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Nration. Funktion -> Rational: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:44 Di 19.11.2013
Autor: sinnlos123

Vielen Dank euch, somit waere dann der Beweis(lies: Begruedung) dass alle ganzrationalen Funktionen mit Grad n (n>=3 und ungerade) einen Schnittpunkt mit der X-Achse haben:
a>0
[mm] f(x)=ax^n [/mm] +... +a (schuldigung weiss nicht wie man das hier schreibt) geht gegen unendlich wenn x gegen unendlich geht, und -unendlich fuer -unendlich.
Da die Funktion(richtiges Wort?) ihr Vorzeichen wechselt muss es einen Schnittpunkt mit der x-Achse geben.

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Nration. Funktion -> Rational: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:54 Di 19.11.2013
Autor: Ebri


> Vielen Dank euch, somit waere dann der Beweis(lies:
> Begruedung) dass alle ganzrationalen Funktionen mit Grad n
> (n>=3 und ungerade) einen Schnittpunkt mit der X-Achse
> haben:

Für n = 1 gilt der Satz auch.

>  a>0

Den Fall [mm] a_{n} [/mm] < 0 sollte man auch beachten, funktioniert aber Analog.

>  [mm]f(x)=ax^n[/mm] +... +a (schuldigung weiss nicht wie man das
> hier schreibt) geht gegen unendlich wenn x gegen unendlich
> geht, und -unendlich fuer -unendlich.
>  Da die Funktion(richtiges Wort?) ihr Vorzeichen wechselt
> muss es einen Schnittpunkt mit der x-Achse geben.

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Nration. Funktion -> Rational: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:22 Di 19.11.2013
Autor: sinnlos123

Hi, bei n=1 hast du:

f(x)=ax + a (gleichbeideutend mit f(x)=x in diesem Zusammenhang)
der Fall ist so unspektakulaer, dass ich ihn 'ausgeklammert' hab ;)

Mit a<0 hast du Recht, wollte es nur nicht schreiben hehe.(is ja dasselbe umgekehrt)


Noch zum Thema: waere f(x)=x+[2^(0,5)] immernoch eine ganzrationale Funktion? lediglich der Schnittpunkt mit der y-Achse waer ja anders, aber sie ist differenzierbar.

Oder geht das nicht, weil wenn man 'hochleiten' wollen wuerde [mm] F(x)=0,5x^2+x2^{0,5}+z [/mm] rauskaem und das nicht mehr differenzierbar ist? (weil wurzel aus 2 entweder + oder - ist, mal abgesehen vom krummen wert) (edit: oder hochleitet man betragszeichen mit? dann sehe ich das Problem grade nicht ;) )

Bezug
                                                                        
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Nration. Funktion -> Rational: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:08 Di 19.11.2013
Autor: Ebri


> Noch zum Thema: waere f(x)=x+[2^(0,5)] immernoch eine
> ganzrationale Funktion? lediglich der Schnittpunkt mit der
> y-Achse waer ja anders, aber sie ist differenzierbar.

Die Quadratwurzel ist eindeutig und immer positiv (oder 0).

$f(x) = x + | [mm] \wurzel{2} [/mm] | = x + [mm] \wurzel{2}$ [/mm]

[mm] $F(x)=0,5x^2+\wurzel{2}x+z$ [/mm]

Beide Funktionen sind ganzrational.

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