Notenverteilung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:08 Di 24.02.2015 | | Autor: | stefanA |
Ich habe hier ein Beispiel der Notenverteilung der letzten 5 Jahre einer diskreten Verteilung:
1: 0,1
2: 0,15
3: 0,22
4: 0,13
5: 0,2
6: 0,2
Eine Fragestellung ist: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 20 ausgewählten Personen, die Durchschnittsnote besser als eine 5 ist.
Mein Problem ist, dass ich die "Durchschnittsnote besser als eine 5" berechnen kann, jedoch nicht weiß wie ich die 20 Personen in meine Rechnung hinzufügen kann. Mein Ansatz ist, dies über eine Binomialverteilung zu berechnen. Kann mir hier jemand einen Tipp geben?
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: MatheBoard
|
|
| |
|
> Ich habe hier ein Beispiel der Notenverteilung der letzten
> 5 Jahre einer diskreten Verteilung:
>
> 1: 0,1
> 2: 0,15
> 3: 0,22
> 4: 0,13
> 5: 0,2
> 6: 0,2
>
> Eine Fragestellung ist: Wie hoch ist die
> Wahrscheinlichkeit, dass von 20 ausgewählten Personen, die
> Durchschnittsnote besser als eine 5 ist.
>
> Mein Problem ist, dass ich die "Durchschnittsnote besser
> als eine 5" berechnen kann,
(mich würde auch interessieren, wie du dies genau
anstellen würdest ...)
> jedoch nicht weiß wie ich die
> 20 Personen in meine Rechnung hinzufügen kann. Mein Ansatz
> ist, dies über eine Binomialverteilung zu berechnen. Kann
> mir hier jemand einen Tipp geben?
Hallo stefanA
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
nach meiner Ansicht ist die Aufgabenstellung zu wenig klar
formuliert. Insbesondere scheint mir nicht klar, was genau
mit der "Durchschnittsnote von 20 ausgewählten Personen"
gemeint sein soll.
Deshalb präzisiere ich mal die Aufgabenstellung folgender-
maßen (und bin nicht ganz sicher, ob dies vom Aufgaben-
steller auch so gedacht war):
20 Werte [mm] x_i \in [/mm] {1,2,3,4,5,6} werden zufällig produziert
nach der angegebenen Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass der
Mittelwert
[mm] $\overline [/mm] x\ =\ [mm] \frac{1}{20}\,\summe_{i=1}^{20}x_i$
[/mm]
den Wert 5 übersteigt ?
Diese Frage kann man auch so formulieren: Wir haben 20
Zufallsvariable [mm] X_1, X_2, X_3, [/mm] ..... , [mm] X_{20} [/mm] , welche alle die
angegebene diskrete Verteilung haben und untereinander
unabhängig sind. Nun interessiert uns die Verteilung der
Summenverteilung
$\ S\ =\ [mm] \summe_{i=1}^{20}X_i$
[/mm]
und insbesondere die Frage nach der Wahrscheinlichkeit
$\ P(S>100)$
Nun gibt es für die Verteilung der Summe von zwei diskret
verteilten Zufallsgrößen durchaus ein Rezept:
Seien zwei unabhängige stetige Zufallsgrößen [mm] X_1 [/mm] und [mm] X_2
[/mm]
mit den beliebigen Wahrscheinlichkeitsfunktionen [mm] p_1(x) [/mm]
und [mm] p_2(x) [/mm] gegeben. Dann berechnet sich die Wahr-
scheinlichkeitsfunktion [mm] p_Y(x) [/mm] der Summe [mm] Y=X_1+X_2 [/mm]
dadurch, dass man über alle Kombinationen der Reali-
sierungen x1 und x2 summiert, deren Summe y ergeben:
[mm] $\blue{ p_Y (x)\ =\ \summe_{x_1,x_2\,;\,x_1+x_2=y} p_1(x_1)*p_2(x_2)\ =\ \summe_{x_1} p_1(x_1)*p_2(y-x_1)}$ [/mm]
(![[]](/images/popup.gif) Quelle)
Bei der Übertragung dieses Rezepts auf eine Summe von
20 Summanden wird aber alles dermassen kompliziert,
dass ich dann eine Bearbeitung per Computer vorziehe
und notfalls sogar auf die exakte Lösung verzichte und
mich stattdessen mit einer MonteCarlo-Lösung (als
Approximation) begnüge.
Trotzdem bin ich gespannt, ob jemand doch noch eine
akzeptabel einfache Lösung anzubieten hat.
Al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
Hallo Stefan,
nachdem ich mir nochmals ein paar Gedanken zur Aufgabe
gemacht habe, würde ich im Moment eher zu einer Lösung
mittels Computer ("Monte-Carlo-Methode") als zu einer
formalen und exakten Auflösung tendieren. Auf meinem
programmierbaren Taschenrechner habe ich mir schon was
in der Richtung gebastelt, nur ist es noch seeehr, seeehr
langsam. Eine kurze analytische Lösung sehe ich im Moment
(noch) nicht ...
Für eine grobe Abschätzung der Größenordnung der
gesuchten Wahrscheinlichkeit würde ich zunächst einmal
die Annahme vorschlagen, dass alle 6 Noten gleichwahr-
scheinlich wären. Dies trifft zwar nicht zu, aber zur Berechnung
einer unteren Schranke für die gesuchte Wahrscheinlichkeit
sollte diese Abänderung doch nützlich sein.
LG , Al-Chw.
|
|
|
|
