Notation Stetigkeit von Maßen < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:43 Fr 26.09.2014 | | Autor: | Cccya |
Ich habe eine Frage zur Notation beim Beweis der Stetigkeit eines
Wahrscheinlichkeitsmaßes. Dabei stellt man ja eine Vereinigung als disjunkte
Vereinigung dar. Ich habe das so gefunden: [mm] \bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i}= \bigcup_{i=1}^{\infty} (A_{i}\backslash A_{i-1}). [/mm] Für mich müsste es aber eigentlich so aussehen [mm] \bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i}= \bigcup_{i=1}^{\infty} (A_{i}\backslash \bigcup_{j=1}^{i-1}A_{j})
[/mm]
Sprich das [mm] A_{i} [/mm] muss jeweils ohne Überschneidung mit allen vorangegangenen Folgegliedern sein, nicht nur mit dem direkt vorangegangenen, sonst ist doch die Vereinigung nicht paarweise disjunkt? Also meine Frage, sind diese Notationen äquivalent und wenn ja, warum?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:08 Fr 26.09.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Ich finde deine Ausführung ziemlich chaotisch. Meine Kristall-
kugel sagt mir, dass wir hier eigentlich
[mm] \green{A}=\bigcup_{i=1}^{\infty}(A_i\setminus A_{i-1}),
[/mm]
betrachten müssen. Bist du dir sicher, dass in deinem Skript
[mm] \red{\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i}=\bigcup_{i=1}^{\infty}(A_i\setminus A_{i-1}).
[/mm]
steht?
Vielleicht nochmal "anschaulicher":
Sei [mm] $A_n\uparrow [/mm] A$. Mit [mm] A_0:=\emptyset [/mm] definieren wir
[mm] $B_n:=A_n\setminus A_{n-1}$ [/mm] für alle [mm] n\in\IN.
[/mm]
Dann sind die Mengen
[mm] B_1,B_2,\ldots
[/mm]
paarweise disjunkt und ihre Vereinigung ist [mm] $A\$. [/mm] In Notation:
[mm] A=\bigcup_{i=1}^{\infty}B_n=\bigcup_{i=1}^{\infty}(A_n\setminus A_{n-1}).
[/mm]
Mach dir die Voraussetzung [mm] $A_n\uparrow [/mm] A$ klar und denk dann noch
einmal über disjunkte bzw. paarweise disjunkte Mengen nach.
Falls ich mich irre, dann ist bestimmt Gono bald zur Stelle. 
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:17 Fr 26.09.2014 | | Autor: | Cccya |
Hi,
sry für die chaotische Präsentation, ich bin etwas aus der Übung was Mathe angeht. Aber ich glaube ich habs jetzt verstanden, ich hatte nicht daran gedacht, dass [mm] A_{n} [/mm] eine aufsteigende Folge ist. In [mm] A_{n-1} [/mm] sind ja alle vorangegangenen Folgeglieder schon enthalten deshalb ist [mm] \bigcup_{n=1}^{\infty}(A_n\setminus A_{n-1}) [/mm] paarweise disjunkt oder?
Aber A = [mm] \bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n} [/mm] für Stetigkeit von unten und A = [mm] \bigcap_{n=1}^{\infty} A_{n} [/mm] für Stetigkeit von oben laut meinem Skript.
Auf jedenfall danke schonmal!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:54 Fr 26.09.2014 | | Autor: | DieAcht |
> In [mm]A_{n-1}[/mm] sind ja alle
> vorangegangenen Folgeglieder schon enthalten deshalb ist
> [mm]\bigcup_{n=1}^{\infty}(A_n\setminus A_{n-1})[/mm] paarweise
> disjunkt oder?
Das ist viel zu ungenau. Unsere Voraussetzung
[mm] $A_n\uparrow [/mm] A$ für [mm] n\to\infty [/mm] heißt, dass [mm] A_{n}\subseteq A_{n+1} [/mm] für alle [mm] n\in\IN [/mm] und [mm] \bigcup_{n\in\IN}A_n=A [/mm] gilt.
Aus obigem Grund können wir schreiben (siehe andere Antwort)
[mm] A=\bigcup_{n\in\IN}(A_n\setminus A_{n-1}) [/mm] für alle [mm] n\in\IN [/mm] mit [mm] A_0:=\emptyset.
[/mm]
Die Mengen [mm] $(A_n\setminus A_{n-1})$ [/mm] für alle [mm] n\in\IN [/mm] sind paarweise disjunkt.
Damit stellen wir [mm] $A\$ [/mm] als eine Vereinigung disjunkter Mengen dar!
> Aber A = [mm]\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}[/mm] für Stetigkeit von
> unten und A = [mm]\bigcap_{n=1}^{\infty} A_{n}[/mm] für Stetigkeit
> von oben laut meinem Skript.
[mm] $A_n\downarrow [/mm] A$ für [mm] n\to\infty [/mm] heißt, dass [mm] A_{n+1}\subseteq A_{n} [/mm] für alle [mm] n\in\IN [/mm] und [mm] \bigcap_{n\in\IN}A_n=A [/mm] gilt.
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Hiho,
eigentlich hat DieAcht bereits alles dazu geschrieben.
Meine Kristallkugel sagt mir, dass du eine Aufsteigende Folge von Mengen [mm] A_i [/mm] betrachtest, daher gilt:
[mm] $A_{i-1} [/mm] = [mm] \bigcup_{j=1}^{i-1} A_j$
[/mm]
Gruß,
Gono.
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