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Hi,
ich habe ein etwas blödes Problem. Ich soll zu vorgegebenen normierten Räumen die Menge [mm] B_{1}(0) [/mm] skizzieren. Leider habe ich nie etwas von [mm] B_{1}(0) [/mm] gehört bzw. gelesen, weder in der Vorlesung noch im Lehrbuch...
Wäre super, wenn mir jemand sagen könnte wie [mm] B_{1}(0) [/mm] aussieht, vllt. sogar mit einem Beispiel. Falls ihr einen normierten Raum braucht : [mm] (\IR^{2}\parallel.\parallel_{1})
[/mm]
LG
Prof.
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Hallo Prof,
> Hi,
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> ich habe ein etwas blödes Problem. Ich soll zu
> vorgegebenen normierten Räumen die Menge [mm]B_{1}(0)[/mm]
> skizzieren. Leider habe ich nie etwas von [mm]B_{1}(0)[/mm] gehört
> bzw. gelesen, weder in der Vorlesung noch im Lehrbuch...
Das ist der offene Ball (Kugel,Kreis) um 0 mit Radius 1, also [mm] $B_1(0)=\{x\in\IR^n\mid||x||<1\}$
[/mm]
> Wäre super, wenn mir jemand sagen könnte wie [mm]B_{1}(0)[/mm]
> aussieht, vllt. sogar mit einem Beispiel. Falls ihr einen
> normierten Raum braucht : [mm](\IR^{2}\parallel.\parallel_{1})[/mm]
Nun, die 1-Norm ist die Betragssummennorm: (hier im [mm] \IR^2)
[/mm]
Dh. für [mm] $x=(x_1,x_2)\in\IR^2$ [/mm] ist [mm] $||x||_1=\sum\limits_{k=1}^2|x_k|$
[/mm]
Also hier: [mm] $||x||_1=|x_1|+|x_2|$
[/mm]
Was ist also [mm] $B_1(0)$ [/mm] ? Das ist [mm] $\{x=(x_1,x_2)\in\IR^2\mid ||x||_1<1\}=\{x=(x_1,x_2)\in\IR^2\mid|x_1|+|x_2|<1\}$
[/mm]
Kannst du damit was anfangen und diese Teilmenge des [mm] $\IR^2$ [/mm] skizzieren?
>
> LG
> Prof.
Gruß
schachuzipus
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Erstmal vielen Dank für deine Antwort.
Wenn ich es richtigen verstanden habe, dann müsste diese Menge [mm] {x=(x_1,x_2)\in\IR^2\mid|x_1|+|x_2|<1\} [/mm] der Einheitskreis sein ausgefüllt ohne den "Kreisrand".
Aber das könnte vermutlich nicht sein, weil dann [mm] (\IR^{2}\parallel.\parallel_{1}) [/mm] und [mm] (\IR^{2}\parallel.\parallel_{2}) [/mm] grafisch gleich wären, obwohl [mm] (\IR^{2}\parallel.\parallel_{2}) [/mm] diese Menge beschreibt:
[mm] {x=(x_1,x_2,x_3)\in\IR^2\mid\wurzel{|x_1|^{2}+|x_2|^{2}+|x_3|^{2}}<1\}
[/mm]
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Hallo nochmal,
> Erstmal vielen Dank für deine Antwort.
> Wenn ich es richtigen verstanden habe, dann müsste diese
> Menge [mm]{x=(x_1,x_2)\in\IR^2\mid|x_1|+|x_2|<1\}[/mm] der
> Einheitskreis sein ausgefüllt ohne den "Kreisrand".
Besser: das Innere des Einheitskreises bzgl. der Norm [mm] $||.||_1$
[/mm]
Das ist geometrisch aber keineswegs ein Kreis bzw. eine Kreisscheibe.
Rechne es doch aus, nimm für [mm] $x_1=x$, $x_2=y$
[/mm]
Dann hast du die "üblichen" Koordinaten:
Löse zunächst die Gleichung [mm] $||\vec{x}||_1=1$, [/mm] also $|x|+|y|=1$
Also $|y|=1-|x|$, dh. [mm] $|y|=\begin{cases} 1-x, & \mbox{für } x\ge 0 \\ 1+x, & \mbox{für } x<0 \end{cases}$
[/mm]
Beachte noch den Betrag vom y und du hast die 4 gesuchten Geradenstücke schnell beisammen.
Die gesuchte Menge ist dann das Innere des Gebildes 
> Aber das könnte vermutlich nicht sein, weil dann
> [mm](\IR^{2}\parallel.\parallel_{1})[/mm] und
> [mm](\IR^{2}\parallel.\parallel_{2})[/mm] grafisch gleich wären,
> obwohl [mm](\IR^{2}\parallel.\parallel_{2})[/mm] diese Menge
> beschreibt:
>
> [mm]{x=(x_1,x_2,x_3)\in\IR^2\mid\wurzel{|x_1|^{2}+|x_2|^{2}+|x_3|^{2}}<1\}[/mm]
Nana, wir sind hier im [mm] \IR^2, [/mm] da gibt's nur Vektoren mit 2 Komponenten, bzgl der Norm [mm] $||.||_2$ [/mm] lautet das Gebilde [mm] $\{\vec{x}=(x,y)\in\IR^2\mid \sqrt{x^2+y^2}<1\}$
[/mm]
Und das ist wieder die Einheitskreisscheibe, dieses Mal bzgl. der Norm [mm] $||.||_2$ [/mm] und das Ding entspricht auch geometrisch dem bekannten Einheitskreis (bzw. der -scheibe)
Gruß
schachuzipus
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