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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:52 Do 24.04.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Abend!
Ich wiederhole eine Analysis II Vorlesung und bin auf 2 "Kleinigkeiten " gestolpert, die ich leider nicht wirklich nachvollziehen kann.
1. Es wurde in der Vorlesung die Kugel [mm] B_1( 0 ) [/mm] , also eine offene Kugel mit Radius 1 um 0 , im [mm] \mathbb R^n [/mm] mit dem Normen [mm] \| . \|_{\infty} \ , \ \| . \|_2 [/mm] und [mm] \| . \|_1 [/mm]
skizziert und als Ergebnis habe ich für die [mm] \| . \|_{\infty} [/mm] Norm ein Quadrat mit der Grundseite 2, da drinnen ist ein Kreis mit dem Radius 1 eingeschrieben, welcher die 2-Norm darstellen soll und schließlich ist in diesem ebenfalls eine Raute eingeschrieben , welche also die 1 - Norm verkörpern soll.
Kann mir jemand erklären, warum das so ist???
2. Ein Beispiel aus der Vorlesung für eine Umgebung ist dieses:
In [mm] X = \mathbb R [/mm] ist die Menge [mm] \{ -1 \} \cup \left[ 0, \infty \right[ [/mm] eine Umgebung von 1.
Warum benötige ich noch diese Menge [mm] \{ -1 \} [/mm] ?
Die uns zur Verfügung stehende Definition ist die Folgende:
Sei X ein metrischer Raum, [mm] a \in X [/mm] und [mm] U \subseteq X [/mm].
Dann heißt U eine Umgebung von a in X , wenn es eine offene Teilmenge A von X gibt mit [mm] a \in A \subseteq U [/mm].
Vielen Dank!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:45 Do 24.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Bildchen sind halt nur für den [mm] R^2
[/mm]
a) ||*||<1 also "Kugel" um 0 mit "radius"1 heisst doch max(|x|,|y|)<1 und die Linien max(|x|,|y|)=1 sind die 4 Geradenstücken x=1,y=1,x=-1,y=-1 die dieses Gebiet beranden.
die 2 Norm ist entsprechen [mm] \wurzel{x^2+y^2}<1 [/mm] die Kugel um Null und das ist als Grenze der Kreis [mm] x^2+y^2=1
[/mm]
mit der 1Norm hast du |x|+|y|<1 wieder als Begrenzungslinien x+y=1 x-y=1 usw, die Raute.
Das {-1} steht da sicher nur, damit man sieht dass man auch so ein (komisches) U wählen kann, ohne das ists auch schon ne Umgebung von 1.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:35 Fr 25.04.2008 | | Autor: | Irmchen |
Vielen Dank für die rasche Antwort!
Viele Grüße
Irmchen
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