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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:40 Di 16.11.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Diesmal eine Frage, die zwar einfach aussieht, aber der Prof meinte, dass es nicht ganz so einfach wäre...
Für [mm] p\ge1 [/mm] definiere folgende Normen:
[mm] ||x||_p [/mm] := [mm] (\summe_{i=1}^{n} |x_i|^p)^{1/p}
[/mm]
[mm] ||x||_\infty [/mm] := [mm] max|x_i|
[/mm]
Zu zeigen ist nun:
[mm] \limes_{p\rightarrow\infty}||x||_p=||x||_\infty
[/mm]
(Ich hoffe, man kann das alles lesen, die Vorschau dauert so lange...)
Logisch haben wir uns gedacht, dass das klar ist, aber wie beweist man das? Welche Grenzwertsätze oder Regeln kann/muss man anwenden?
Viele Grüße
Bastiane
![[breakdance]](/images/smileys/breakdance.gif "[breakdance]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:45 Di 16.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Liebe Christiane!
Es kann ja sein, dass ich es mir hier zu einfach mache, aber ich würde sagen, dass die Aufgabe ganz einfach wie folgt zu lösen ist:
Für ein beliebiges $\varepsilon>0$ gibt es (im Falle $x \ne 0$, im Falle $x=0$ ist nichts zu zeigen) ein $p_0 \in [1,+\infty)$, so dass für alle $p \ge p_0$ folgendes gilt:
$n^{\frac{1}{p}} - 1 < \frac{\varepsilon}{\Vert x \Vert_{\infty}}$.
Nun folgt für alle $p \ge p_0$:
$0 \le \left( \sum\limits_{i=1}^n \vert x_i \vert^p\right)^{\frac{1}{p}} - \Vert x \Vert_{\infty}$
$\le \Vert x \Vert_{\infty} \cdot \left[ \left( \sum\limits_{i=1}^n \left( \frac{\vert x_i \vert}{\Vert x \Vert_{\infty}} \right)^p \right)^{\frac{1}{p}} - 1 \right]$
$\le \Vert x \Vert_{\infty} \cdot \left (n^{\frac{1}{p}} - 1 \right)$
$\le \Vert x \Vert_{\infty} \cdot \frac{\varepsilon}{\Vert x \Vert_{\infty}}$
$= \varepsilon$,
was zu zeigen war.
Liebe Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:58 Mi 17.11.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Christiane
vielleicht geht es auch so:
[mm] $(max|x_i|)^{p} \le \summe_{i=1}^{n}|x_i|^p \le n*(max|x_i|)^{p}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[mm] $max|x_i| \le \left(\summe_{i=1}^{n}|x_i|^p\right)^{\bruch{1}{p}} \le n^{\bruch{1}{p}}*max|x_i|$
[/mm]
Weil [mm] $\lim_{p \to \infty}n^{\bruch{1}{p}}=1$ [/mm] strebt die rechte Seite wie auch die linke Seite gegen [mm] $max|x_i|$, [/mm] womit die Behauptung gezeigt ist.
Mit lieben Grüssen
Paul
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