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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:01 So 10.10.2004 | | Autor: | regine |
Hallo,
ich verstehe die Eigenschaften der Frobenius-Norm nicht.
Sie wird ja so definiert: [mm] $||A||_F= \wurzel[2]{ \summe_{i,j=1}^{n}|a_{ij}|^2}$.
[/mm]
Diese Norm ist eine mit $|| [mm] \cdot ||_2$ [/mm] verträgliche Matrixnorm. Warum?
Es gilt [mm] $||A||_2 \le ||A||_F \le \wurzel[2]{n} \cdot ||A||_2$. [/mm] Warum?
Daraus folgt dann, dass [mm] $||E||_F=\wurzel[2]{n}> [/mm] 1$ für $n>1$, woraus folgt, dass $|| [mm] \cdot ||_F$ [/mm] keine Operatornorm ist. Warum?
Danke und viele Grüße,
Regine.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:28 So 10.10.2004 | | Autor: | regine |
Hallo,
ich bin nun soweit, daß ich verstanden habe, wozu man diese Frobenius-Norm braucht.
Sie ist nämlich ein Beispiel dafür, dass es Matrixnormen gibt, die keiner Vektornorm zugeordnet sind und dafür, dass nicht jede Matrixnorm mit jeder Vektornorm verträglich sein muß.
Viele Grüße,
Regine.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:50 Mo 11.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Regine!
> Sie wird ja so definiert: [mm]||A||_F= \wurzel[2]{ \summe_{i,j=1}^{n}|a_{ij}|^2}[/mm].
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Daraus folgt unmittelbar
[mm] (*)$\Vert [/mm] A [mm] \Vert_F^2 [/mm] = [mm] \mbox{Spur}(A^TA)$.
[/mm]
> Diese Norm ist eine mit [mm]|| \cdot ||_2[/mm] verträgliche
> Matrixnorm. Warum?
Wegen [mm] $\Vert [/mm] A [mm] \Vert_2 \le \Vert [/mm] A [mm] \Vert_F$ [/mm] (siehe unten), also:
[mm] $\Vert [/mm] A x [mm] \Vert_2 \le \Vert [/mm] A [mm] \Vert_2 \cdot \Vert [/mm] x [mm] \Vert_2 \le \Vert [/mm] A [mm] \Vert_F \cdot \Vert [/mm] x [mm] \Vert_2$.
[/mm]
> Es gilt [mm]||A||_2 \le ||A||_F \le \wurzel[2]{n} \cdot ||A||_2[/mm].
> Warum?
>
Nun, das ist ganz einfach.
Bekanntlich ist [mm] $\Vert [/mm] A [mm] \Vert_2$ [/mm] die Wurzel des größten Eigenwertes von $A^TA$. Nun haben wir gerade gesehen, dass [mm] $\Vert [/mm] A [mm] \Vert_F$ [/mm] die Wurzel der Spur der Matrix [mm] $A^T [/mm] A$ ist, also die Wurzel der Summe der (nichtnegativen (!), da $A^TA$ positiv semidefinit ist!) Eigenwerte ist. Daraus folgt unmittelbar die Behauptung.
> Daraus folgt dann, dass [mm]||E||_F=\wurzel[2]{n}> 1[/mm] für [mm]n>1[/mm],
Das folgt unmittelbar durch Einsetzen.
> woraus folgt, dass [mm]|| \cdot ||_F[/mm] keine Operatornorm ist.
> Warum?
Weil für jede Operatornorm [mm] $\Vert \cdot \Vert$ [/mm] notwendigerweise
[mm] $\Vert [/mm] E [mm] \Vert [/mm] = [mm] \sup\limits_{x \ne 0} \frac{\Vert E x \Vert}{\Vert x \Vert} [/mm] = [mm] \sup\limits_{x \ne 0}\frac{\Vert x \Vert}{\Vert x \Vert} [/mm] = 1$
gilt.
Alles klar jetzt? Wenn nicht, dann frage bitte nach. 
Liebe Grüße
Stefan
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