Normalverteilung < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:45 Di 14.09.2010 | | Autor: | Laura_88 |
| Aufgabe | Eine Firma für Autolacke füllt Dosen zu 500g ab, Die Füllmaschine ist auf einen Mittelwert [mm] \mu [/mm] = 502g eingestellt und arbeitet mit der Standartabweichung von 1,5g. Die Füllmenge sei normal verteilt.
a) Wie viele % der Dosen sind untergewichtig (weniger als 500g)?
b) Wie viele % der Dosen haben zwischen 499 und 503g?
c) Welche Füllmengen müsste man zulassen wenn 95% der Dosen in den Handel gehen sollen?(Symetrisches Intervall)
d) Wie müssste man den Mittelwert verändern, wenn man maximal 1% der Dosen unter 500g haben dürfen?
Ein Kontrollor prüft 10 Dosen, man weiß, dass normalerweiße 5% untergewichtig sind.
e) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens eine Dose untergewichtig ist?
f) Wie viele Dose müsste man testen, damit man mit 99% Wahrscheinlichkeit min. eine untergewichtige Dose erhält?
g) Erklären Sie welche VErteilungen sie in bsp. e erwendet haben und warum? Was waren ihre Entscheidunggrundlagen? |
Ich schick gleich mal voraus dass ich nicht wirklich eine Ahnung wie das mit der Normalverteilung geht und meine Unterlagen die ich habe sind auch nicht wirklich eine Hilfe!
also ich hab a so berechnet:
(x>500)
z= [mm] \bruch{500-502}{1,5}= [/mm] -1.34 -> 1 - phi(1.34) =1 - 0,9066 = 9,34%
b hab ich so gelöst:
(499<x<502)
z1= [mm] \bruch{499-502}{1,5} [/mm] = -2 ... phi (-2)= 0,0228
z2= [mm] \bruch{503-502}{1,5} [/mm] = 0,67...phi (0,67)= 0,7486
Wahrscheinlichkeit= 0,7486 - 0,0228 = 72,58%
so ich hoff das stimmt oder wenn nicht das ihr mir sagen könnt was ich falsch gemacht habe!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:56 Di 14.09.2010 | | Autor: | Disap |
Hallo.
> Eine Firma für Autolacke füllt Dosen zu 500g ab, Die
> Füllmaschine ist auf einen Mittelwert [mm]\mu[/mm] = 502g
> eingestellt und arbeitet mit der Standartabweichung von
> 1,5g. Die Füllmenge sei normal verteilt.
>
> a) Wie viele % der Dosen sind untergewichtig (weniger als
> 500g)?
> b) Wie viele % der Dosen haben zwischen 499 und 503g?
> c) Welche Füllmengen müsste man zulassen wenn 95% der
> Dosen in den Handel gehen sollen?(Symetrisches Intervall)
> d) Wie müssste man den Mittelwert verändern, wenn man
> maximal 1% der Dosen unter 500g haben dürfen?
>
> Ein Kontrollor prüft 10 Dosen, man weiß, dass
> normalerweiße 5% untergewichtig sind.
> e) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens
> eine Dose untergewichtig ist?
> f) Wie viele Dose müsste man testen, damit man mit 99%
> Wahrscheinlichkeit min. eine untergewichtige Dose erhält?
> g) Erklären Sie welche VErteilungen sie in bsp. e
> erwendet haben und warum? Was waren ihre
> Entscheidunggrundlagen?
> Ich schick gleich mal voraus dass ich nicht wirklich eine
> Ahnung wie das mit der Normalverteilung geht und meine
> Unterlagen die ich habe sind auch nicht wirklich eine
> Hilfe!
>
> also ich hab a so berechnet:
> (x>500)
> z= [mm]\bruch{500-502}{1,5}=[/mm] -1.34 -> 1 - phi(1.34) =1 -
> 0,9066 = 9,34%
Ja, stimmt.
> b hab ich so gelöst:
> (499<x><502)
> z1= [mm]\bruch{499-502}{1,5}[/mm] = -2 ... phi (-2)= 0,0228
> z2= [mm]\bruch{503-502}{1,5}[/mm] = 0,67...phi (0,67)= 0,7486
Ist auch ok.
> Wahrscheinlichkeit= 0,7486 - 0,0228 = 72,58%
>
> so ich hoff das stimmt oder wenn nicht das ihr mir sagen
> könnt was ich falsch gemacht habe!
Das haut alles so hin. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
</x>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:06 Di 14.09.2010 | | Autor: | Laura_88 |
wau das hätt ich nie geglaubt!
dann mach ich mal weiter:
für c hab ich:
[mm] P(x1\le [/mm] x [mm] \le [/mm] x2) [mm] \ge [/mm] 0,95
z1;2= [mm] \pm [/mm] 1,96
x1: z1* sigma * [mm] \mu= [/mm] 504,94
x2: 499,06
für d)
p(x > 500 ) [mm] \ge [/mm] 0,99
z = 2,33 ... aus tabelle
[mm] \mu [/mm] = x -(z* sigma)
[mm] \mu [/mm] = 500 - (2.33*1,5)
= 496,505
Man müsste den Mittelwert auf 496 (da weiß ich nicht ob man da runden soll) senken
also müsste man alles zwischen 499 und 505 zulassen!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:44 Di 14.09.2010 | | Autor: | Disap |
Hallo!
> wau das hätt ich nie geglaubt!
>
> dann mach ich mal weiter:
>
> für c hab ich:
> [mm]P(x1\le[/mm] x [mm]\le[/mm] x2) [mm]\ge[/mm] 0,95
>
> z1;2= [mm]\pm[/mm] 1,96
>
> x1: z1* sigma * [mm]\mu=[/mm] 504,94
> x2: 499,06
Ja, das stimmt!
> für d)
>
> p(x > 500 ) [mm]\ge[/mm] 0,99
>
> z = 2,33 ... aus tabelle
>
> [mm]\mu[/mm] = x -(z* sigma)
> [mm]\mu[/mm] = 500 - (2.33*1,5)
> = 496,505
Genau.
> Man müsste den Mittelwert auf 496 (da weiß ich nicht ob
> man da runden soll) senken
Ich würde höchstens auf die letzte Nachkommastelle runden, also 496.5
> also müsste man alles zwischen 499 und 505 zulassen!
Hier ist diese kleine Rundung noch vertretbar.
Viele Grüße
Disap
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:57 Di 14.09.2010 | | Autor: | Laura_88 |
für f hab ich mir gedacht das müsste doch mit einem Baumdiagramm lösbar sein!
wahrscheinlichkeit das untergewichtig: 5/100
wahrscheinlichkeit das nicht untergewichtig: 95/100
10 Mögliche wege
10* [mm] \bruch{95}{100} [/mm] ^9 * [mm] \bruch{5}{100} [/mm] = 31,5%
und für f )
da hab ich nicht wirklich eine Ahnung
ich hab mir da zwar einen Lösungsweg ausgedacht nur kann ich den nicht lösen!
also:
X * [mm] \bruch{95}{100}^{X-1} [/mm] * [mm] \bruch{5}{100} [/mm] = 0,99
müsste eigentlich funktionieren wenn man das irgendwie auflösen kann! ich kanns leider nicht!
oder gibts da eine bessere Methode?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:16 Di 14.09.2010 | | Autor: | Disap |
Großes Lob, du hast immer sehr gute Ansätze!
> für f hab ich mir gedacht das müsste doch mit einem
> Baumdiagramm lösbar sein!
>
> wahrscheinlichkeit das untergewichtig: 5/100
> wahrscheinlichkeit das nicht untergewichtig: 95/100
>
> 10 Mögliche wege
>
> 10* [mm]\bruch{95}{100}[/mm] ^9 * [mm]\bruch{5}{100}[/mm] = 31,5%
Ja ne, nicht ganz. Du hast jetzt ausgerechnet, dass bei 10 Dosen genau 1 kaputt ist. Die Frage war nach höchstens(!) eine. Der Fall: 0 Dosen kaputt, fehlt dir noch. Den musst du dazu addieren (kommst dann auf 91,4%)
Übrigens, siehst du hier eine Verbindung zu Aufgabe e)? Fällt dir die Verteilung schon auf?
> und für f )
>
> da hab ich nicht wirklich eine Ahnung
>
> ich hab mir da zwar einen Lösungsweg ausgedacht nur kann
> ich den nicht lösen!
>
> also:
>
> X * [mm]\bruch{95}{100}^{X-1}[/mm] * [mm]\bruch{5}{100}[/mm] = 0,99
>
> müsste eigentlich funktionieren wenn man das irgendwie
> auflösen kann! ich kanns leider nicht!
Frage: Welche Verteilung hast du hier stillschweigend benutzt? Das ist genau die, nach der in Aufgabe g) gefragt wird.
> oder gibts da eine bessere Methode?
Die gibts ganz sicher!
Du möchtest gerne wissen, wie viele Dosen (nennen wir sie n ) du testen musst, um mit 99%iger Wahrscheinlichkeit eine kaputte/fehlerhafte zu erwischen. Anders formuliert, du möchtest wissen, wie viele Dosen du testen musst, damit bei 1% Wahrscheinlichkeit immer noch keine Dose fehlerhaft ist. Diese beiden Thesen lassen sich mathematisch wie folgt ausdrücken
$P(X [mm] \ge [/mm] 1) [mm] \ge [/mm] 0.99$
$1-P(X = 0) [mm] \ge [/mm] 0.99$
$P(X=0) [mm] \le [/mm] 0.01$
[mm] $0.95^n \le [/mm] 0.01$
und das löst man jetzt nach n auf mit dem Logarithmus
$n*log(0.95) [mm] \le [/mm] log(0.01)$
$n [mm] \le [/mm] 89.78$
Das heißt, du müsstest mindestens 90 Dosen testen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:48 Di 14.09.2010 | | Autor: | Laura_88 |
wahnsinn das hätte ich echt nicht gedacht dass so "leicht" geht
aber ich komm da jetzt nicht drauf
10* [mm]\bruch{95}{100}[/mm] ^9 * [mm]\bruch{5}{100}[/mm] + [mm] \bruch{95}{100}*10 [/mm]
hätte ich mir gedacht das es heißen muss aber das stimmt leider nicht :-( kannst du mir da nochmal helfen?
> Übrigens, siehst du hier eine Verbindung zu Aufgabe e)?
> Fällt dir die Verteilung schon auf?
das einzige was ich weiß ist das es eine geordnete Stichprobe ist (glaub ich zumindest) stimmt das?
gilt das dann für e und f ?
auf f wär ich wohl nie selbst gekommen DANKE deshalb!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:38 Mi 15.09.2010 | | Autor: | Disap |
> wahnsinn das hätte ich echt nicht gedacht dass so "leicht"
> geht
Tja :)
> aber ich komm da jetzt nicht drauf
>
> 10* [mm]\bruch{95}{100}[/mm] ^9 * [mm]\bruch{5}{100}[/mm] + [mm]\bruch{95}{100}*10[/mm]
>
> hätte ich mir gedacht das es heißen muss aber das stimmt
> leider nicht :-(
Bei 9 heile, 1 fehlerhaft hast du das doch schon richtig gemacht.
Nehmen wir mal an, du untersuchst 10 Dosen, und es ist wirklich erst die 10. Dose fehlerhaft.
Dann gehst du doch im Baumdiagramm die ganze Zeit den Ast "Dose in Ordnung" lang und multiplizierst
[mm]\frac{95}{100}*\frac{95}{100}*...*\frac{95}{100} = (\frac{95}{100})^9[/mm]
und als letztes kommt dann die WK für die fehlerhafte Dose
[mm](\frac{95}{100})^9*\frac{5}{100}[/mm]
der Witz ist, dass bei dener Stichprobe von 10 Dosen aber auch die erste kaputt sein kann, oder die zweite, oder die dritte,...
entsprechend gibts dafür wieder 10 Möglichkeiten, sodass du doch die 10 als Faktor schreibst. Müsste dir ja klar sein, du hast es ja aufgeschrieben. Weißt du, wo die 10 her kommt?
Unten schreibst du etwas von "geordnete Stichprobe". Das ist es aber nicht ganz. Hier verwendest du (um nicht alle Möglichkeiten durchzählen zu müssen: "Die erste untersuchte Dose kann fehlerhaft sein","die zweite,..." "die neunte", "die zehnte"). Um das zu vermeiden, gibt es den Binomialkoeffizienten.
Hier haben wir [mm]\vektor{10\\
1}[/mm]
Leider fällt der unter das Schema, ungeordnet Ziehen ohne Zurücklegen
Na ja, und wenn keine kaputt ist, läufst du halt auch noch den "Dose in Ordnung" Ast ab und multiplizierst die WKs. Also hast du insgesamt [mm](\frac{95}{100})^{10}[/mm]
>
> > Übrigens, siehst du hier eine Verbindung zu Aufgabe e)?
> > Fällt dir die Verteilung schon auf?
>
> das einzige was ich weiß ist das es eine geordnete
> Stichprobe ist (glaub ich zumindest)
> stimmt das?
Nein, die ist nicht geordnet! Du ziehst (von meinetwegen 100 Dosen) 10 Dosen heraus und untersuchst die nach ihrem Gewicht. Wahrscheinlich wirst du die Dosen mit dem Gewicht nicht in aufsteigender Reihenfolge (dass die halt immer schwerer werden) ziehen.
> gilt das dann für e und f ?
Wie bitte? In der Aufgabe steht
>> man weiß, dass normalerweiße 5% untergewichtig sind.
Diese Firma hat in der Vergangenheit wahrscheinlich schon mehrere Millionen Dosen prodoziert und vermutlich auch geprüft. Entsprechend kennen sie die Schwankungen beim Abfüllen.
Wenn du weißt, dass eine Dose mit der WK von 5% fehlerhaft ist, dann ist das doch so wie beim Münzenwerfen (abgesehen von der WK). Also hast du eine Binomialverteilung.
Und wenn deine Dosenproduktion so gut bekannt ist (also entsprechend viele Dosen überprüft worden sind), kannst du die Binomialverteilung durch die Normalverteilung approximieren. Und das ist ja hier der Fall.
Also Binomialverteilung ist die Antwort.
PS: Oben stand noch etwas von [mm] $(\frac{0.95}{100})^{10}$. [/mm] Kannst du das in Binomialverteilungsform schreiben? Also noch den Binomialkoeffizienten vorsetzen und bei [mm] $(\frac{0.05}{100})^x$ [/mm] noch das "x" durch eine Zahl ersetzen? Kannst da mal drüber nachdenken.
> auf f wär ich wohl nie selbst gekommen DANKE deshalb!
Bitte! In der Mathematik muss man halt gewisse Tricks erst Mal sehen.
Disap
|
|
|
|
