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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:42 Do 07.04.2005 | | Autor: | crowmat |
Ich hab folgende Aufgabe gegeben: Das Füllgewicht von Bierflaschen variiert produktionsbedingt zufällig noormalverteilt um den Erwartungswert [mm] \mu [/mm] = 0.503 mit einer Varianz von sigma²=(0.002)².
Wie groß müßte bei gleichem Wert für Sigma, der parameter [mm] \mu [/mm] mindestens sein, damit eine füllmenge von wenigstens 0.5 mit der wahrscheinlichkeit 0.98 erreicht wird!
Dazu hab ich folgendes gerechnet, was mich aber nicht weiterbringt!
P(x>=0.5)=0.98
Ich hab versucht die transformation anzuwenden, bin aber gescheitert!Hat einer von euch eine Idee?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo crowmat!
> Ich hab folgende Aufgabe gegeben: Das Füllgewicht von
> Bierflaschen variiert produktionsbedingt zufällig
> noormalverteilt um den Erwartungswert [mm]\mu[/mm] = 0.503 mit
> einer Varianz von sigma²=(0.002)².
> Wie groß müßte bei gleichem Wert für Sigma, der parameter
> [mm]\mu[/mm] mindestens sein, damit eine füllmenge von wenigstens
> 0.5 mit der wahrscheinlichkeit 0.98 erreicht wird!
>
> Dazu hab ich folgendes gerechnet, was mich aber nicht
> weiterbringt!
> P(x>=0.5)=0.98
x ist also Deine Zufallsvariable, die das Füllgewicht beschreibt. Von ihr weiß man, dass sie normalverteilt ist mit der Varianz [mm] $0.002^2$ [/mm] und unbekanntem Erwartungswert [mm] $\mu$. [/mm] Dein Ansatz ist völlig korrekt. Wenn man es ganz genau nimmt, sollte in der Aufgabenstellung stehen, dass die gesuchte Wkt. mindestens 0.98 betragen soll. Damit hat man dann
[mm] $P(x\ge 0.5)\ge0.98$
[/mm]
Durch Standardisierung erhält man
[mm] $1-\Phi\left(\frac{0.5-\mu}{0.002}\right) \ge [/mm] 0.98$
oder
[mm] $\Phi\left(\frac{0.5-\mu}{0.002}\right)\le [/mm] 0.02$
Weißt Du nun wie es weitergeht (Stichwort Quantil) oder ist das gerade der Haken?
[mm] $\Phi(y)\le [/mm] p$ ist doch äquivalent zu [mm] $y\le u_p$, [/mm] wobei [mm] $u_p$ [/mm] das p-Quantil der Standardnormalveretilung bezeichnet. Kommst Du damit weiter?
Viele Grüße
Brigitte
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:05 Do 07.04.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Dein Ansatz ist völlig richtig!
Jetzt standardisieren wir die Zufallsvariable und erhalten:
[mm] $P\left( \frac{X-\mu}{0.02} \ge \frac{0.5-\mu}{0.002} \right) [/mm] = 0.98$, also:
$1 - [mm] \Phi \left( \frac{0.5-\mu}{0.002} \right) [/mm] = 0.98$
und
[mm] $\Phi \left( \frac{0.5-\mu}{0.002} \right) [/mm] =0.02$.
Nun liefert die Symmetrie der Standardnormalverteilung:
[mm] $\Phi \left( \frac{\mu - 0.5}{0.002} \right) [/mm] =0.98$.
So, und jetzt schaust du in die Tabelle der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung und suchst den Wert mit
[mm] $\Phi(z) [/mm] = 0.98$.
Dann setzt du
[mm] $\frac{\mu - 0.5}{0.002} [/mm] = z$
und löst nach [mm] $\mu$ [/mm] auf.
Viele Grüße
Julius
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