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Hallo,
ich habe eine Frage zur Normalverteilung beim [mm] \mu-Sigma-Prinzip [/mm] sowie dem sich dabei ergebenden Erwartungsnutzen...
Soweit ich mich erinnere, wird die Normalverteilung dargestellt durch
(s = Sigma)
f(x) = [mm] \bruch{1}{s\wurzel[2]{2\pi}}*e^{-\bruch{(x-\mu)^{2}}{2s^{2}}}
[/mm]
Nun zu meinem Problem,
gegeben seien
U(x) = [mm] -e^{-a*x} [/mm] als Nutzenfunktion
[mm] x\sim N(\mu,s) [/mm] x sei also normalverteilt.
Nun soll sich der Erwartungsnutzen
E[U(x)] = [mm] -e^{-a*(\mu-\bruch{a}{2}*s^{2})} [/mm] ergeben.
Kann mir jemand bei der Herleitung helfen, ich komme nicht auf dieses Ergebnis, da ich nicht in der Lage bin die Stammfunktion zu
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{f(x)*U(x) dx}
[/mm]
= [mm] \integral_{-\infty}^{\infty} {\bruch{1}{s\wurzel[2]{2\pi}}*e^{-\bruch{(x-\mu)^{2}}{2s^{2}}} * -e^{-a*x} dx}
[/mm]
zu bilden.
Gruß und im voraus Danke für Eure Hilfe,
BertanARG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:51 Fr 04.03.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{f(x)*U(x) dx}
[/mm]
> =
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty} {\bruch{1}{s\wurzel[2]{2\pi}}*e^{-\bruch{(x-\mu)^{2}}{2s^{2}}} * -e^{-a*x} dx}
[/mm]
Also, wir substituieren
$y = [mm] \frac{x-\mu}{s}$
[/mm]
und erhalten:
$E[U(X)]$
$= [mm] -\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{y^2}{2}} \cdot e^{-a(\mu+sy)}\, [/mm] dx$
$=- [mm] \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{- \frac{y^2 + 2asy}{2} - a\mu}\, [/mm] dy$
$= - [mm] \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{- \frac{(y+as)^2}{2} + \frac{a^2s^2}{2} - a\mu}\, [/mm] dy$
$= - [mm] e^{\frac{a^2s^2}{2} - a\mu} \cdot \underbrace{\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{- \frac{(y+as)^2}{2}}\, dy}_{=\, 1}$
[/mm]
(da hier die Dichte einer Normalverteilung mit Erwartungswert $-as$ über die ganze reelle Achse integriert wird)
$= [mm] -e^{-a(\mu - \frac{a}{2}s^2)}$.
[/mm]
Viele Grüße
Julius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:13 Sa 05.03.2005 | | Autor: | BertanARG |
Hi,
danke für die Antwort. Jetzt kann ich es nachvollziehen
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