Normalverteilung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:01 Do 07.12.2006 | | Autor: | DesterX |
Hallo zusammen!
Ich habe mal 2 grundsätzliche Frage:
Seien [mm] X_1,...,X_n [/mm] unabhängige, standardnormalverteilte ZV'en N(0,1), dh. [mm] \mu [/mm] = 0 und [mm] \sigma^2 [/mm] =1 .
1.
Wenn ich nun nach der Verteilung von [mm] X_1+...+X_n [/mm] suche, muss ich ja die Dichten jeweils falten,richtig?
Ist demnach [mm] X_1+...+X_n [/mm] dann N(0,n) verteilt?
2.
Wäre dann [mm] \bruch{1}{n}*(X_1+...+X_n) [/mm] sogar wieder N(0,1)-verteilt?
Wäre schön, wenn mir jmd helfen könnte
Viele Grüße
Dester
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:08 Do 07.12.2006 | | Autor: | luis52 |
> Hallo zusammen!
> Ich habe mal 2 grundsätzliche Frage:
>
> Seien [mm]X_1,...,X_n[/mm] unabhängige, standardnormalverteilte
> ZV'en N(0,1), dh. [mm]\mu[/mm] = 0 und [mm]\sigma^2[/mm] =1 .
> 1.
> Wenn ich nun nach der Verteilung von [mm]X_1+...+X_n[/mm] suche,
> muss ich ja die Dichten jeweils falten,richtig?
Falsch. Faltung ist eine Moeglichkeit, eine andere besteht darin,
ueber die momenterzeugende Funktion zu argumentieren.
> Ist demnach [mm]X_1+...+X_n[/mm] dann N(0,n) verteilt?
Ja.
> 2.
> Wäre dann [mm]\bruch{1}{n}*(X_1+...+X_n)[/mm] sogar wieder
> N(0,1)-verteilt?
Nein, $N(0,1/n)$.
hth
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:14 Do 07.12.2006 | | Autor: | DesterX |
Danke für die schnelle Antwort!
> > 2.
> > Wäre dann [mm]\bruch{1}{n}*(X_1+...+X_n)[/mm] sogar wieder
> > N(0,1)-verteilt?
>
>
> Nein, [mm]N(0,1/n)[/mm].
Das wundert mich nun etwas - wie kommt man darauf?
Wie wäre denn [mm] \bruch{1}{n}*X_1 [/mm] verteilt?
Gruß
Dester
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:23 Do 07.12.2006 | | Autor: | luis52 |
> Danke für die schnelle Antwort!
>
>
> > > 2.
> > > Wäre dann [mm]\bruch{1}{n}*(X_1+...+X_n)[/mm] sogar wieder
> > > N(0,1)-verteilt?
> >
> >
> > Nein, [mm]N(0,1/n)[/mm].
>
> Das wundert mich nun etwas - wie kommt man darauf?
> Wie wäre denn [mm]\bruch{1}{n}*X_1[/mm] verteilt?
[mm] $N(0,1/n^2)$. [/mm] Nach einer alten Bauernregel gilt naemlich [mm] $\mbox{Var}[aX]=a^2\mbox{Var}[X]$.
[/mm]
hth
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:39 Do 07.12.2006 | | Autor: | DesterX |
Danke!
Nun kann ich zumindest nachvollziehen warum [mm] \wurzel{n}*\bar X_n [/mm] dann N(0,1) verteilt ist - wäre klasse, wenn du mir auch noch bei der anderen Frage helfen könntest (auf das eigentlich alles abzielt) :)
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 20:29 Do 07.12.2006 | | Autor: | DesterX |
Ich habe eine Frage zur Student-Verteilung ...
für Leute die sofort wissen, worum es geht können ja mein Vorgeschreibsel überlesen, Frage kommt dann danach!
Wenn W,U zwei reelwertige, unabhängige ZV'en sind -
dann ist [mm] \bruch{\wurzel{n*W}}{\wurzel{U}} [/mm] Student verteilt bzw [mm] t_n-verteilt, [/mm] wenn W N(0,1) und U [mm] X_n^2 [/mm] verteilt ist
Es geht nun um Konfidenzintervalle -
Sei [mm] \hat{ s_n^2} =\bruch{1}{n-1} \summe_{i=1}^{n} (X_i- \bar X_n)^2 [/mm] eine Schätzung für die unbekannte Varianz bei ebenfalls unbekanntem Erwartungswert der durch den Standardmittelwertschätzer [mm] \bar X_n [/mm] dargestellt ist -
Wir haben nun gezeigt, dass [mm] (n-1)*\hat s_n^2 [/mm] ist [mm] X_{n-1}^2 [/mm] verteilt
Nun endlich meine Frage:
Warum ist dann [mm] \bruch{\wurzel{n}*\bar X_n}{\hat s_n} t_{n-1}-verteilt?
[/mm]
.. ich komme noch so weit, dass [mm] \wurzel{n}*\bar X_n [/mm] dann N(0,1) verteilt, aber warum ist der gesamte Ausdruck dann Student-verteilt?
Herzlichen Dank an alle die überhaupt bis hierhin gelesen haben.:)
Viele Grüße
Dester
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:02 Do 07.12.2006 | | Autor: | DesterX |
Ok, hab es nun verstanden!
Trotzdem 'Dankeschön' -
Gruß
Dester
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