Normalteiler in Gruppen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:55 Do 13.11.2008 | | Autor: | chriz123 |
| Aufgabe | | G sei eine Gruppe, H eine Untergruppe vom Index 2, d.h. eine Untergruppe, die genau zwei rechte Nebenklassen besitzt. Beweisen Sie: H ist Normalteiler in G. |
Das Thema ist neu für mich aber ich versuchs mal.
H ist Normalteiler in G wenn für jedes $ a [mm] \in [/mm] G $ rechte und linke Nebenklasse übereinstimmen.
z.z.: $a * U = U * a$
Sei $ [mm] \{a * U | a \in G\}$ [/mm] Klasseneinteilung von G.
Soweit müsste das doch richtig sein oder??
$a * U = U * a [mm] \Rightarrow \{a * x | x \in U\} [/mm] = [mm] \{x * a| x \in U\} \Rightarrow \{a * U | a \in G\} [/mm] = [mm] \{x * U| a \in G\} [/mm] $
Und was ist hier falsch??
Vielen Dank!
Chriz123
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:09 Do 13.11.2008 | | Autor: | pelzig |
Es ist [mm] $aH=Ha^{-1}$...
[/mm]
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:56 Do 13.11.2008 | | Autor: | chriz123 |
Das Thema ist neu für mich aber ich versuchs mal.
H ist Normalteiler in G wenn für jedes $ a [mm] \in [/mm] G $ rechte und linke Nebenklasse übereinstimmen.
z.z.: a * U = U * a
Sei $ [mm] \{a \cdot{} U | a \in G\} [/mm] $ Klasseneinteilung von G.
Soweit müsste das doch richtig sein oder??
> Es ist [mm]aH=Ha^{-1}[/mm]...
Versteh ich nich.
Ich dachte zu zeigen wäre $a [mm] \cdot{} [/mm] U = U [mm] \cdot{} [/mm] a$
und $a [mm] \not= a^{-1}$
[/mm]
???
Kann mir vielleicht jemand den Ansatz zeigen??
Viellen Dank!
Chriz123
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:16 Do 13.11.2008 | | Autor: | pelzig |
> Das Thema ist neu für mich aber ich versuchs mal.
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> H ist Normalteiler in G wenn für jedes [mm]a \in G[/mm] rechte und
> linke Nebenklasse übereinstimmen.
>
> z.z.: a * U = U * a
>
> Sei [mm]\{a \cdot{} U | a \in G\}[/mm] Klasseneinteilung von G.
>
> Soweit müsste das doch richtig sein oder??
>
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> > Es ist [mm]aH=Ha^{-1}[/mm]...
>
> Versteh ich nich.
> Ich dachte zu zeigen wäre [mm]a \cdot{} U = U \cdot{} a[/mm]
> und [mm]a \not= a^{-1}[/mm]
Ok das war vielleicht etwas verwirrend. Der Punkt ist, dass du in jeder beliebigen Gruppe die rechten in die linken Nebenklassen umrechnen kannst durch [mm] $gH=Hg^{-1}$.
[/mm]
Wenn du jetzt eine Untergruppe mit Index 2 hast, dann heißt das es gibt nur zwei Rechtsnebenklassen, nämlich einmal $H$ selbst und zum anderen [mm] $G\setminus [/mm] H$.
Du willst jetzt zeigen dass für alle [mm] $a\in [/mm] G$ gilt: aH=Ha.
1. Fall [mm] $a\in [/mm] H$, dann steht da $aH=H=Ha$ fertig.
2. Fall [mm] $a\not\in [/mm] H$, dann ist [mm] $aH\ne [/mm] H$ (warum?), also, da es nur zwei Nebenklassen gibt, muss zwangsläufig [mm] $aH=G\setminus [/mm] H$ sein. Mit meinem Tipp (das müsste man natürlich auch erst noch beweisen) weißt du außerdem, dass [mm] $Ha=a^{-1}H$ [/mm] ist. Wenn [mm] $a\not\in [/mm] H$ ist, ist auch [mm] $a^{-1}\not\in [/mm] H$, d.h. auch [mm] $a^{-1}H\ne [/mm] H$ und mit der gleichen Idee (es gibt ja nur zwei verschiedene Nebenklassen!) ist [mm] $a^{-1}H=G\setminus [/mm] H$. Insgesamt ist also [mm] $aH=G\setminus H=a^{-1}H=Ha$ [/mm] - fertig.
Also ist H ein Normalteiler.
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