Normalteiler S_5 < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:34 Do 13.12.2012 | | Autor: | AntonK |
| Aufgabe | | Sei G ein Normalteiler in [mm] S_5. [/mm] Beweisen Sie, dass G [mm] \cap A_5 [/mm] ein Normalteiler von [mm] A_5 [/mm] ist. |
Hallo Leute,
und zwar haben wie bei der Aufgabe zuerst gezeigt, dass G [mm] \cap A_5 [/mm] ein Normalteiler von [mm] S_5 [/mm] ist, was mir klar ist, da der Schnitt von Normalteiler auch ein Normalteiler ist.
Es gilt also für alle h ∈ G ∩ [mm] A_5, [/mm] g ∈ [mm] S_5:
[/mm]
[mm] g^{-1}hg [/mm] ∈ G ∩ [mm] A_5
[/mm]
Jetzt wurde damit direkt daraufgeschlossen, dass der Schnitt auch ein Normalteiler von [mm] A_5 [/mm] ist.
Dies gilt insbesondere für alle g ∈ [mm] A_5. [/mm] G ∩ [mm] A_5 [/mm] ist also Normalteiler in [mm] A_5.
[/mm]
Ich verstehe nicht, warum dies automatisch gilt. Ich könnte g ja auch so wählen, dass es nur in [mm] A_5 [/mm] liegt und nicht im Schnitt von G und [mm] A_5, [/mm] da könnte ich doch durchaus aus dem Schnitt rausfallen oder sehe ich das falsch?
Danke schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:24 Fr 14.12.2012 | | Autor: | hippias |
Du siehst es falsch. Vergiss einmal, was bereits in Deiner Vorlesung gemacht wurde: Wie lautet die Bedingung, damit [mm] $G\cap A_{5}$ [/mm] ein Normalteiler von [mm] $A_{5}$ [/mm] ist?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:44 Fr 14.12.2012 | | Autor: | AntonK |
Naja, ich wähle ein h aus G [mm] \cap A_5 [/mm] und ein g aus [mm] A_5.
[/mm]
Dann mus gelten:
[mm] g^{-1}hg [/mm] in G [mm] \cap A_5
[/mm]
Wir wissen also, dass [mm] g^{-1}hg [/mm] aufjedenfall in [mm] A_5 [/mm] liegt. Das heißt doch aber nicht, dass es zwingend auch in G liegt oder?
(ich weiß, dassm [mm] A_5 [/mm] einfach ist, wenn man das hier benutzt ist es klar, aber will das ohne diese Begründung verstehen)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:15 Fr 14.12.2012 | | Autor: | hippias |
> Naja, ich wähle ein h aus G [mm]\cap A_5[/mm] und ein g aus [mm]A_5.[/mm]
>
> Dann mus gelten:
>
> [mm]g^{-1}hg[/mm] in G [mm]\cap A_5[/mm]
>
> Wir wissen also, dass [mm]g^{-1}hg[/mm] aufjedenfall in [mm]A_5[/mm] liegt.
Richtig.
> Das heißt doch aber nicht, dass es zwingend auch in G
> liegt oder?
Doch: es wurde schon bewiesen, dass auch [mm] $h^{g}\in [/mm] G$ ist, wenn man sogar mit allen Elemente aus [mm] $g\in S_{5}$ [/mm] konjugiert. Dann erst recht, wenn man sich auf die Elemente aus [mm] $A_{5}$ [/mm] einschraenkt.
>
> (ich weiß, dassm [mm]A_5[/mm] einfach ist, wenn man das hier
> benutzt ist es klar, aber will das ohne diese Begründung
> verstehen)
Ist auch nicht noetig.
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