www.vorkurse.de
Ein Projekt von vorhilfe.de
Die Online-Kurse der Vorhilfe

E-Learning leicht gemacht.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Teams · Forum · Wissen · Kurse · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe-Vorkurse
  Status Organisatorisches
  Status Schule
    Status Wiederholung Algebra
    Status Einführung Analysis
    Status Einführung Analytisc
    Status VK 21: Mathematik 6.
    Status VK 37: Kurvendiskussionen
    Status VK Abivorbereitungen
  Status Universität
    Status Lerngruppe LinAlg
    Status VK 13 Analysis I FH
    Status Algebra 2006
    Status VK 22: Algebra 2007
    Status GruMiHH 06
    Status VK 58: Algebra 1
    Status VK 59: Lineare Algebra
    Status VK 60: Analysis
    Status Wahrscheinlichkeitst

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Algebra" - Normalteiler, Index
Normalteiler, Index < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Normalteiler, Index: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:39 Di 19.09.2006
Autor: baskolii

Aufgabe
Sei H eine Untergruppe mit endlichem Index in einer Gruppe G (nicht notwendigerweise endlich). Zeige, dass G einen Normalteiler mit endlichem Index enthaelt, der in H enthalten
ist.

So, als Normalteiler hab ich mir [mm] N=\bigcap_{x\in G}xHx^{-1} [/mm] ausgeguckt.
Bei meinem Beweis, dass N endlichen Index in G hat, bin ich mir absolut nicht sicher und
es waere echt nett, wenn sich den mal jemand anschauen wuerde.

[mm] G=\bigcup_{x\in S}xH [/mm]   (also G ist die Vereingung der disjunkten links Nebenklassen von U, [mm] |S|<\infty [/mm] nach Voraussetzung)
[mm] \Rightarrow \forall g\in [/mm] G [mm] \exists x\in [/mm] S, [mm] u\in [/mm] H, so dass g=xu.
[mm] \Rightarrow N=\bigcap_{x\in S}xHx^{-1} [/mm] .
Sei [mm] x\in [/mm] S und [mm] g_1,g_2\in [/mm] xH [mm] \Rightarrow \exists u_1,u_2\in [/mm] H, so dass [mm] g_i=xu_i, [/mm] i=1,2.
[mm] \Rightarrow g_1g_2^{-1}=xu_1u_2^{-1}x^{-1}\in xHx^{-1} [/mm]
[mm] \Rightarrow g_1xHx^{-1}=g_2xHx^{-1} [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] (G : [mm] xHx^{-1})\le [/mm] (G:H). (da Elemente die in der selben Nebenklasse von H liegen auch in der selben Nebenklasse von [mm] xHx^{-1} [/mm] liegen)
[mm] S:=\{s_1,...,s_n\}, [/mm] dann ist [mm] N=\bigcap_{i=1}^n s_iHs_i^{-1} [/mm] .
Jede links Nebenklasse von N ist von der Form [mm] xN=\bigcap_{i=1}^n xs_iHs_i^{-1} [/mm] .
[mm] \Rightarrow [/mm] Es gibt hoechstens (G : [mm] s_1Hs_1^{-1})\cdot [/mm] (G : [mm] s_2Hs_2^{-1})\cdot ...\cdot(G [/mm] : [mm] s_nHs_n^{-1}) [/mm] verschiedene links Nebenklassen von N.
[mm] \Rightarrow [/mm] (G : [mm] N)\le [/mm] (G : [mm] s_1Hs_1^{-1})\cdot [/mm] (G : [mm] s_2Hs_2^{-1})\cdot ...\cdot(G [/mm] : [mm] s_nHs_n^{-1}) \le [/mm] (G : [mm] H)^n [/mm] < [mm] \infty. [/mm]

Danke fuer jeden der sich bis hierher durchgekaempft hat. Ich hoffe, dass das richtig ist, sass da naemlich echt lange dran.

Verena

        
Bezug
Normalteiler, Index: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:16 Do 21.09.2006
Autor: mathiash

Hallo und einen guten Spät-Morgen/ Früh-Mittag, Verena !

(Letzterer Begriff hätte dann in Köln nochmal eine besondere Bedeutung ... ;-)  )

> Sei H eine Untergruppe mit endlichem Index in einer Gruppe
> G (nicht notwendigerweise endlich). Zeige, dass G einen
> Normalteiler mit endlichem Index enthaelt, der in H
> enthalten
> ist.
>
> So, als Normalteiler hab ich mir [mm]N=\bigcap_{x\in G}xHx^{-1}[/mm]
> ausgeguckt.
>  Bei meinem Beweis, dass N endlichen Index in G hat, bin
> ich mir absolut nicht sicher und
> es waere echt nett, wenn sich den mal jemand anschauen
> wuerde.
>  
> [mm]G=\bigcup_{x\in S}xH[/mm]   (also G ist die Vereingung der
> disjunkten links Nebenklassen von U, [mm]|S|<\infty[/mm] nach
> Voraussetzung)

Nebenklassen von H ? (anstatt U)

>   [mm]\Rightarrow \forall g\in[/mm] G [mm]\exists x\in[/mm] S, [mm]u\in[/mm] H, so
> dass g=xu.

Ja.

>   [mm]\Rightarrow N=\bigcap_{x\in S}xHx^{-1}[/mm] .

richtig.

>  Sei [mm]x\in[/mm] S und [mm]g_1,g_2\in[/mm] xH [mm]\Rightarrow \exists u_1,u_2\in[/mm]
> H, so dass [mm]g_i=xu_i,[/mm] i=1,2.
>  [mm]\Rightarrow g_1g_2^{-1}=xu_1u_2^{-1}x^{-1}\in xHx^{-1}[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow g_1xHx^{-1}=g_2xHx^{-1}[/mm]

Richtig.

>  [mm]\Rightarrow[/mm] (G :
> [mm]xHx^{-1})\le[/mm] (G:H). (da Elemente die in der selben
> Nebenklasse von H liegen auch in der selben Nebenklasse von
> [mm]xHx^{-1}[/mm] liegen)

(mit dem x, das ihre Nebenklasse repräsentiert:)

[mm] \forall x\in S\: \forall g_1,g_1\in xH\:\:\: g_1xHx^{-1}=g_2xHx^{-1} [/mm]

>  [mm]S:=\{s_1,...,s_n\},[/mm] dann ist [mm]N=\bigcap_{i=1}^n s_iHs_i^{-1}[/mm]
> .

Ja.

>  Jede links Nebenklasse von N ist von der Form
> [mm]xN=\bigcap_{i=1}^n xs_iHs_i^{-1}[/mm] .

Klar nach Definition von N.


>  [mm]\Rightarrow[/mm] Es gibt hoechstens (G : [mm]s_1Hs_1^{-1})\cdot[/mm] (G
> : [mm]s_2Hs_2^{-1})\cdot ...\cdot(G[/mm] : [mm]s_nHs_n^{-1})[/mm]
> verschiedene links Nebenklassen von N.

Richtig.

Damit sollte es stimmen.

Lieben Gruss,

Mathias

>  [mm]\Rightarrow[/mm] (G : [mm]N)\le[/mm] (G : [mm]s_1Hs_1^{-1})\cdot[/mm] (G :
> [mm]s_2Hs_2^{-1})\cdot ...\cdot(G[/mm] : [mm]s_nHs_n^{-1}) \le[/mm] (G : [mm]H)^n[/mm]
> < [mm]\infty.[/mm]
>
> Danke fuer jeden der sich bis hierher durchgekaempft hat.
> Ich hoffe, dass das richtig ist, sass da naemlich echt
> lange dran.
>  
> Verena

Bezug
                
Bezug
Normalteiler, Index: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:06 Do 21.09.2006
Autor: baskolii

Hi Mathias,
vielen Dank, bin mal gespannt was die Professoren dazu sagt.

Schoene Gruesse aus dem sonnigen Atlanta.
Verena

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorkurse.de
[ Startseite | Mitglieder | Teams | Forum | Wissen | Kurse | Impressum ]