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| Aufgabe | Seien [mm] h:G\to{}G' [/mm] ein Homomorphismus und [mm] $N'\subseteq [/mm] G'$ ein Normalteiler.
Zeigen Sie: [mm] N:=h^{-1}(N') [/mm] ist ein Normalteiler von G und konstruieren Sie einen Isomorphismus
[mm] G/N\to im(h)/im(h\cap{}N') [/mm] |
Hallo,
Algebra macht mir leider immer noch Probleme...
Zunächst erst einmal der erste Teil der Aufgabe:
Sei [mm] n'\in{}N' [/mm] und [mm] g'\in{}G'. [/mm] Wir wissen nun:
[mm] N'\ni{}g'n'g'^{-1}. [/mm] Wir wenden [mm] h^{-1} [/mm] an.
[mm] h^{-1}(N')\ni h^{-1}(g'n'g'^{-1})=h^{-1}(g')h^{-1}(n')h^{-1}(g'^{-1})
[/mm]
Wir definieren [mm] h^{-1}(g')=:g [/mm] und [mm] h^{-1}(g'^{-1})=:g^{-1}
[/mm]
Und somit haben wir gezeigt, dass für alle [mm] n\in{N}=h^{-1}(N') [/mm] gilt
[mm] gng{-1}\in{}N
[/mm]
Nun die Frage: Genügt diese Argumentation oder ist es sehr flach?
Zu der zweiten Teilaufgabe habe ich leider keinen richtigen Ansatz. Könntet ihr mir dafür einen Input geben? Das wäre super von euch.
Vielen Dank und schönes Wochenende!
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moin,
du musst vorsichtig sein! Du hast einen Homomorphismus [mm]h\colon G\to G'[/mm]. Und nicht mehr! [mm]N:=h^{-1}(N')[/mm] meint das Urbild von [mm]N'[/mm]! Nix mit Inverse! Nix mit Invertierbar!
z.z. ist [mm]gNg^{-1}\le N[/mm] für alle [mm]g\in G[/mm]. Dazu sei [mm]n\in N[/mm] beliebig, d.h. es gibt ein [mm]n'\in N'[/mm] mit [mm]h(n)=n'[/mm].
Da du die Normalteilereigenschaft für [mm]N[/mm] beweisen sollst, musst du dich auch mit [mm]gNg^{-1}[/mm] begnügen.
Nun ist [mm]h(gng^{-1})=h(g)h(n)h(g^{-1})[/mm] und du hast [mm]h(n)\in N'\triangleleft G'[/mm].
Nun bist du dran. Was sagt dir [mm] $h(n)\in [/mm] N'$ über $n$ aus?
Teil b) ist ein Spezialfall vom 2. Isomorphiesatz. Da genügt die kanonische Abbildung.
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Hallo wieschoo,
vielen Dank für deine Antwort.
> moin,
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> du musst vorsichtig sein! Du hast einen Homomorphismus
> [mm]h\colon G\to G'[/mm]. Und nicht mehr! [mm]N:=h^{-1}(N')[/mm] meint das
> Urbild von [mm]N'[/mm]! Nix mit Inverse! Nix mit Invertierbar!
>
> z.z. ist [mm]gNg^{-1}\le N[/mm] für alle [mm]g\in G[/mm]. Dazu sei [mm]n\in N[/mm]
> beliebig, d.h. es gibt ein [mm]n'\in N'[/mm] mit [mm]h(n)=n'[/mm].
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> Da du die Normalteilereigenschaft für [mm]N[/mm] beweisen sollst,
> musst du dich auch mit [mm]gNg^{-1}[/mm] begnügen.
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> Nun ist [mm]h(gng^{-1})=h(g)h(n)h(g^{-1})[/mm] und du hast [mm]h(n)\in N'\triangleleft G'[/mm].
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> Nun bist du dran. Was sagt dir [mm]h(n)\in N'[/mm] über [mm]n[/mm] aus?
Nun, man weiß ja nun, dass [mm] h(g)h(n)h(g^{-1})\in{}N' [/mm] liegt, weil N' Normalteiler ist. Dies gilt aber für jedes [mm] n\in{}N. [/mm] Also wird [mm] gng^{-1} [/mm] durch $h$ in $h(N)=N'$ abgebildet. Folglich ist damit aber [mm] gng^{-1}\in{}N, [/mm] für jedes [mm] g\in{}G.
[/mm]
Über eine Bestätigung der Überlegungen würde ich mich freuen.
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> Teil b) ist ein Spezialfall vom 2. Isomorphiesatz. Da
> genügt die kanonische Abbildung.
Ah - jo. Danke für den Hinweis. Da werde ich diesen wohl mal bemühen...
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> Über eine Bestätigung der Überlegungen würde ich mich freuen.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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