Normalteiler < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:54 Di 19.04.2005 | | Autor: | regine |
Hallo,
könnte mir jemand den Begriff "Normalteiler" erklären und evtl. Beispiele dazu angeben?
Danke und viele Grüße,
Regine.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:17 Di 19.04.2005 | | Autor: | regine |
Hallo,
ein eigener Versuch zur Erklärung des Begriffs "Normalteiler".
Es sei G eine Gruppe und H eine Untergruppe.
H wird als Normalteiler von G bezeichnet, wenn für jedes $h [mm] \in [/mm] H$ und jedes $g [mm] \in [/mm] G$ das Produkt $g [mm] \circ [/mm] h [mm] \circ g^{-1} \in [/mm] H$ ist.
Aber was bedeutet das nun genau?
Sind dann nicht bei abelschen Gruppen alle Untergruppen Normalteiler?
Danke und viele Grüße,
Regine.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:49 Mi 20.04.2005 | | Autor: | muli |
Hallo Regine!!
also deine def. ist schon mal korrekt!!!
nun zu den besonderheiten des Normalteilers:
Dazu sehen wir uns die Konstruktion der Faktorgruppe einmal an.
sei U eineUntergruppe von G dann def. ich folgende Äquivalenzrelation auf G
g [mm] \sim [/mm] h: [mm] \gdw gh^{-1} \in [/mm] U
Die Menge der Äquivalenzklassen wird als G / U bezeichnet.
Die Menge der Äquivalenzklassen ist zunächst einmal nur eine Menge. möchte
man aber das es sich hierbei wiederrum um eine Gruppe handelt definiert man folgende Verknüpfung: a,b [mm] \in [/mm] G aU und bU [mm] \in [/mm] G / U : aU *bU = (ab)U
Damit dies wohldef. ist, also nicht vom gewählten a oder b abhängt muss man(die merkwürdige Bedingung) fordern das U ein Normalteiler ist. somit ist G / U eine Gruppe, genannt Faktogruppe.
Und ja du hast recht in abelschen Gruppen sind alle Untergruppen Normalteiler.
ich hoffe ich konnte dir helfen
muli
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:58 Fr 22.04.2005 | | Autor: | regine |
Hallo,
danke für die ausführliche Antwort! Ich versuche, mich da durchzubeißen. :)
Mein Problem ist, dass ich nun eine wunderbare Definition habe und ich diese hoffentlich auch nachprüfen kann, aber was bringt es mir denn nun, wenn ich weiß, dass ein bestimmtes Element ein Normalteiler ist?!
Ich habe z.B. die folgende Aufgabe, wo ich keine Herangehensweise finde:
Sei H ein direkter Faktor einer Gruppe G. Zu beweisen ist, dass jeder Normalteiler von H ein Normalteiler von G ist.
Danke für Eure Hilfe und viele Grüße,
Regine.
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Hallo!
Also, das ist klar, wenn Deine Definition von "direkter Faktor" mit meiner übereinstimmt:
Ich nenne $H$ einen "direkten Faktor" von $G$, wenn es eine Untergruppe $U$ von $G$ gibt, so dass gilt: $G [mm] \cong [/mm] H [mm] \times [/mm] U$ und die Multiplikation in $H [mm] \times [/mm] U$ komponentenweise funktioniert.
Ist $N [mm] \subeteq [/mm] H$ dann ein Normalteiler, so gilt ja für jedes $n [mm] \in [/mm] N$ und $h [mm] \in [/mm] H$: [mm] $hnh^{-1} \in [/mm] N$.
Wir wollen zeigen, dass $N$ bzw. die Einbettung $N [mm] \times \{ e \}$ [/mm] in $G$ ein Normalteiler ist. Sei also $(n,e) [mm] \in [/mm] N [mm] \times \{ e \}$ [/mm] beliebig und ebenso $g = (h,u) [mm] \in [/mm] G$ beliebig, wobei $h [mm] \in [/mm] H$ und $u [mm] \in [/mm] U$.
Dann ist doch [mm] $g^{-1} [/mm] = [mm] (h^{-1}, u^{-1})$ [/mm] und es folgt:
[mm] $g\circ [/mm] (n,e) [mm] \circ g^{-1} [/mm] = (h,u) [mm] \circ [/mm] (n,e) [mm] \circ (h^{-1},u^{-1}) [/mm] = [mm] (hnh^{-1}, uu^{-1}) [/mm] = [mm] (hnh^{-1}, [/mm] e) [mm] \in [/mm] N [mm] \times \{ e\}$.
[/mm]
Und das zeigt das Gewünschte. 
Lars
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:07 So 24.04.2005 | | Autor: | regine |
Hallo,
danke für die Antwort. :)
Wenn ich es so lese, dann kann ich es mit dem Skript nachvollziehen und verstehe es soweit auch. Aber sobald ich vor der nächsten Aufgabe sitze, weiß ich wieder nicht, wie ich an so etwas rangehe.
Den ersten Teil würde ich hinbekommen. Du verdeutlichst erst mal die Definitionen. Und ausgehend davon, stellst Du eine Behauptung auf, die die Definitionen verbindet und somit beweist. Aber genau diese Behauptung zu finden, ist für mich ein Problem. :(
Kann man so eine Aufgabe vielleicht mal gemeinsam erarbeiten?
Sei H ein Normalteiler von G. Man zeige: H ist genau dann ein direkter Faktor von G, wenn es einen Homomorphismus [mm] \varphi : G \to H [/mm] gibt, dessen Beschränkung auf H ein Isomorphismus ist.
Die Definitionen von Normalteiler und direkter Faktor kennen wir aus der vorherigen Aufgabe. Aber was bedeutet denn nun "Beschränkung auf H"? Und dann... :(
Vielen Dank,
Regine.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:25 Mo 25.04.2005 | | Autor: | Hexe |
ok um dem erarbeiten Rechnung zu tragen mal nur ein "Schrittchen"
Die Beschränkung auf H bedeutet, dass ich von der Abbildung [mm] G\to [/mm] H nur die Elemente betrachte die in der Teilmenge h von G liegen. Bsp. [mm] f:\IR \to \IR^+; x\mapsto x^2 [/mm] Diese abbildung ist nicht isomorph weil nicht injektiv, wenn ich jetzt aber nur [mm] f':\IR^+ \to \IR^+ [/mm] betrachte, genannt die Beschränkung von f auf [mm] \IR^+ [/mm] dann ist es ein Isomorphismus.
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