Normalität von Operatoren < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:49 Do 23.01.2014 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | | Ein Operator $T$ sei gegeben auf [mm] $\mathcal{H}s$. [/mm] Zeigen Sie, dass dieser genau dann normal ist, wenn $Tx$ und [mm] $T^{+}x$ [/mm] die gleiche Länge für alle [mm] $x\in \mathcal{H}$ [/mm] haben. |
(Anmerkung: Das "$+$" oben soll ein * meinen, Latex hat dies jedoch in einen Punkt verwandelt, daher...)
(i) "Zu normal folgt Länge Tx = Länge T*x "
Zu zeigen ist hier wohl, dass gilt:
$||Th|| = [mm] ||T^{+}h|| \forall x\in \mathcal{H}$
[/mm]
[mm] $||Th||^2 [/mm] = <Th,Th> = [mm] [/mm] = [mm] [/mm] $
Leider komm ich hier nicht weiter und würde mich über einen Hinweis freuen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:13 Do 23.01.2014 | | Autor: | clemenum |
Okay, ich scheine für die eine Richtung eine Lösung gefunden zu haben:
$||Tx|| = <Tx,Tx> = [mm] [/mm] = <T [mm] T^{+}x,x> [/mm] = [mm] ||T^{+} [/mm] x|| $
Frage: Ist das komplett schlüssig?
Leider habe ich zur Umkerung keine Idee! :( Kann mir da jemand einen Tipp geben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:09 Do 23.01.2014 | | Autor: | hippias |
Ja, das stimmt (habe Deinen zweiten Post nicht gesehen). Aus $ ||Tx||= [mm] ||T^{\star}x||$ [/mm] folgt [mm] $<(T^{\star}T-TT^{\star})x,x>=0$ [/mm] fuer alle $x$.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:14 Do 23.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ja, das stimmt (habe Deinen zweiten Post nicht gesehen).
> Aus [mm]||Tx||= ||T^{\star}x||[/mm] folgt
> [mm]<(T^{\star}T-TT^{\star})x,x>=0[/mm] fuer alle [mm]x[/mm].
Um aus
[mm]<(T^{\star}T-TT^{\star})x,x>=0[/mm] fuer alle [mm]x[/mm]
folgern zu können, dass T normal ist, muss der zugrunde liegende Raum allerdings komplex sein !
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:23 Do 23.01.2014 | | Autor: | hippias |
Uff! In diesem Falle koennte sich der Ansatz $||Tx+Ty||= [mm] ||T^{\star}x+T^{\star}y||$ [/mm] fuer alle $x,y$ als zu [mm] $<(T^{\star}T- TT^{\star})x,y>+ \overline{<(T^{\star}T- TT^{\star})x,y>}= [/mm] 0$ erweisen - wenn ich mich nicht verrechnet habe. Durch geschickte Wahl von $y$ koennte ich dann [mm] $(T^{\star}T- TT^{\star})x= [/mm] 0$ schlussfolgern.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:01 Do 23.01.2014 | | Autor: | hippias |
Du kannst das $T$ durch sternen zur zweiten Stelle bringen; dann bist Du fertig.
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