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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:53 Mo 11.09.2006 | | Autor: | Riley |
Hi!
wie ist das, wenn man V als endlich-dimensionalen VR, [mm] \psi \in End_k(V) [/mm] hat, und V als K[X]- Modul mit "skalarer Multi" g a := [mm] g(\psi)(a) [/mm] mit g [mm] \in [/mm] K[X] und a [mm] \in [/mm] V betrachtet,
warum ist dann V ein endlich erzeugtesTorsionsmodul und direkte Summe zyklischer K[X]-Moduln?
und wie sehn diese zyklische Moduln genau aus?
wär echt cool, wenn ihr mir weiterhelfen könntet!
viele grüße
riley
ps: schon gefragt: http://www.matheboard.de/
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Hallo und guten Morgen,
nun, denk doch mal an den Satz von Cayley-Hamilton: Das charakteristische Polynom von [mm] \psi \:\:\: g_{\psi} [/mm] hat ja so ein gewisses Verhalten, wenn man
[mm] \psi [/mm] einsetzt. Und warum ist V als K[X]-Modul endlich erzeugt ? Nun, sei B eine endliche Basis von V als K-Vektorraum, dann nimm doch
mal das Polynom g(X)=1, es ist dann ja [mm] g(\psi)=id [/mm] (die Identität auf V), nicht wahr ?
Viele Grüße,
Mathias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:52 Mo 11.09.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Mathias!
danke für deine Antwort!
also ist es ein torsionsmodul, da das Min- und char.poly null werden, wenn man [mm] \psi [/mm] einsetzt?
d.h. es ist endlich erzeugt, weil es eine endliche basis hat'?
und noch ne andre frage, dieser Polynomring K[X] ist doch ein euklidischer, Ring und damit auch ein faktorieller und Hauptidealring, richtig?
d.h. die Ideale sind dann die Polys wo das Absolutglied verschwindet, weil das immer Vielfache sind?
Aber wie kann man dann erklären, dass die Vielfachen vom Minimalpolynom mit [mm] \psi [/mm] eingesetzt auch Null geben? muss man da das Minimalpoly als Hauptideal auffassen??
viele grüße
riley
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Hallo,
> also ist es ein torsionsmodul, da das Min- und char.poly
> null werden, wenn man [mm]\psi[/mm] einsetzt?
>
> d.h. es ist endlich erzeugt, weil es eine endliche basis
> hat'?
Sozusagen.
>
> und noch ne andre frage, dieser Polynomring K[X] ist doch
> ein euklidischer, Ring und damit auch ein faktorieller und
> Hauptidealring, richtig?
Ja.
> d.h. die Ideale sind dann die Polys wo das Absolutglied
> verschwindet, weil das immer Vielfache sind?
Der Sinn dieser Nachfrage erschließt sich mir nicht so ganz.
Ideale sind Hauptideale, sie können sehr wohl von einem Polynom mit
nicht-verschwindendem Absolutglied erzeugt werden.
Ideale sin übrigens nicht gleichzusetzen mit Polynomen, sie sind Mengen von Polynomen.
> Aber wie kann man dann erklären, dass die Vielfachen vom
> Minimalpolynom mit [mm]\psi[/mm] eingesetzt auch Null geben? muss
> man da das Minimalpoly als Hauptideal auffassen??
>
Wo ist da jetzt das Problem ? Wenn [mm] g(\psi) [/mm] (a) =0, so gilt sicher auch [mm] b\cdot g(\psi) [/mm] (a) =0 für alle [mm] b\in [/mm] K.
> viele grüße
> riley
>
>
Ebenso viele Grüße,
Mathias
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