Normalform von omplexe Zahlen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:34 Mi 14.11.2007 | | Autor: | zazaza |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Normalform aller z [mm] \in \IC [/mm] , welche die Gleichung lösen:
[mm] z^{4} [/mm] - (2 + [mm] j)z^{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{4} [/mm] + j = 0 |
meine frage ist wie ich da anfangen kann?! ich habe mir überlegt ob man substituieren kann, oder ausklammer!? doch leider kommt bei mir unmögliches raus!! vllt hab ich des ganze falsch angesetzt!!?? oder mach ichs mir zu schwer?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:01 Mi 14.11.2007 | | Autor: | zazaza |
| Aufgabe | | [mm] w^{2} [/mm] - ((2 + j)w) - [mm] (\bruch{1}{4} [/mm] + j) = 0 |
wenn ich durch substitution aus [mm] z^{4} [/mm] und [mm] z^{2} [/mm] zB [mm] w^{2} [/mm] und w mache? steht dann eine einfache quadratische gleichung da? oder? aber was dann?
des wird voll kompliziert!! ich kann dann zwar was rauskürzen nur?! ob des der richtige weg ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:55 Mi 14.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> [mm]w^{2}[/mm] - ((2 + j)w) - [mm](\bruch{1}{4}[/mm] + j) = 0
> wenn ich durch substitution aus [mm]z^{4}[/mm] und [mm]z^{2}[/mm] zB [mm]w^{2}[/mm]
> und w mache? steht dann eine einfache quadratische
> gleichung da? oder? aber was dann?
Das ist ein guter Ansatz.
Die quadratische Gleichung mit komplexen Koeffizienten geht genauso wie die mit reellen Koeffizienten, also mit quadratischer Ergänzung oder pq-Formel, was dir lieber ist.
Da kürzt sich 'ne Menge raus 
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:35 Mi 14.11.2007 | | Autor: | zazaza |
| Aufgabe | in pq:
[mm] \bruch{2+j}{2} \pm \wurzel{- (\bruch{2+j}{2})^2 - \bruch{1}{4} + j}
[/mm]
evtl.:
[mm] \gdw [/mm]
1 + [mm] \bruch{j}{2} \pm \wurzel{ (\bruch{4+j^2}{4}) - \bruch{1}{4} + j}
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
??
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nach dem schritt, also wenn ich des versuche aufzulösen! kommt mir die wurzel in die quere! bitte bitte!! ach und ich weiss noch dass aus [mm] i^2 [/mm] = (-1)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:14 Mi 14.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> in pq:
>
> [mm]\bruch{2+j}{2} \pm \wurzel{- (\bruch{2+j}{2})^2 - \bruch{1}{4} + j}[/mm]
Da hast du ein bischen geschummelt beim Einsetzen:
[mm]p = - (2+j)[/mm], [mm]q=-\bruch{1}{4} + j[/mm], daher:
[mm]\bruch{2+j}{2} \pm \wurzel{ \left(\red{-}\bruch{2+j}{2}\right)^2 \red{-} \left(- \bruch{1}{4} + j \right)}[/mm]
> evtl.:
> [mm]\gdw[/mm]
> 1 + [mm]\bruch{j}{2} \pm \wurzel{ (\bruch{4+j^2}{4}) - \bruch{1}{4} + j}[/mm]
Beim Ausmultiplizieren von [mm](2+j)^2[/mm] musst du die binomische Formel benutzen:
[mm](2+j)^2=4+j^2+4j[/mm]
[mm]\gdw 1 + \bruch{j}{2}\pm \wurzel{ \left(\bruch{4+j^2\red{+4j}}{4}\right) \red{+} \bruch{1}{4} \red{-} j}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm]
> ??
>
>
> nach dem schritt, also wenn ich des versuche aufzulösen!
> kommt mir die wurzel in die quere! bitte bitte!! ach und
> ich weiss noch dass aus [mm]i^2[/mm] = (-1)
Jetzt wird die Wurzel ganz einfach.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:26 Mi 14.11.2007 | | Autor: | zazaza |
| Aufgabe | [mm] w_{1} [/mm] bekomme ich: 2 + [mm] \bruch{j}{2}
[/mm]
[mm] w_{2} [/mm] bekomme ich: [mm] \bruch{j}{2}
[/mm]
eingesetzt:
(2 + [mm] \bruch{j}{2})^4 [/mm] - [2(2 + [mm] \bruch{j}{2})^2 [/mm] + j(2 + [mm] \bruch{j}{2})^2] [/mm] - [mm] \bruch{1}{4} [/mm] + j
[mm] (\bruch{j}{2})^4 [/mm] - [mm] [2(\bruch{j}{2})^2 [/mm] + [mm] j(\bruch{j}{2})^2] [/mm] - [mm] \bruch{1}{4} [/mm] + j |
(ich verzweifle) sind die teillösungen w1 und w2 richtig? falls ja, es gild doch [mm] j^1=j [/mm] ; [mm] j^2=-1 [/mm] ; [mm] j^3=-1 [/mm] ; [mm] j^4=1 [/mm] ?? oder?
also ich muss doch danach zB für [mm] w_1 [/mm] einfach in [mm] z^4 [/mm] und in [mm] z^2 [/mm] einsetzten??
tut mir leid dass ich bestimmt nerve
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:46 Mi 14.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
w1 und w2 sind richtig.
jetzt war ja deine Substitution [mm] z^2=w
[/mm]
also musst du nur noch die jeweils 2 Wurzeln aus w1 und w2 ziehen und hast die 4 Lösungen.
(zum Wurzelziehen am besten w in [mm] r*e^{i\phi} [/mm] verwandeln.
also etwa : [mm] j/2=1/2*e^{j*\pi/2} [/mm] und [mm] j/2=1/2*e^{j*(\pi/2+2\pi}
[/mm]
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:36 Do 15.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Wie leduart schon schrieb, hast du doch [mm]z^2[/mm] durch w substituiert.
> eingesetzt:
> [mm](2 + \bruch{j}{2})^4 - [2(2 + \bruch{j}{2})^2 + j(2 + \bruch{j}{2})^2] - \bruch{1}{4} + j[/mm]
Deine Gleichung für w war:
[mm]w^2-(2+J)w -\bruch{1}{4}+j=0[/mm]
Wenn du da einsetzt, passt es.
> falls ja, es gild doch [mm]j^1=j[/mm] ; [mm]j^2=-1[/mm] ; [mm]j^3=-1[/mm] ; [mm]j^4=1[/mm] ??
> oder?
[mm]j^3=-j[/mm], sonst stimmt es.
Viele Grüße
Rainer
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