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| Aufgabe | Sei 1/3 * [mm] \pmat{ -1 & -2 & 2 \\ 2 & -2 & -1 \\ 2 & 1 & 2} \in \IR^{3x3}
[/mm]
Zeigen Sie:
Die orthogonale Normalform von A hat die Form [mm] \pmat{ \lambda & 0 \\ 0 & D(\alpha)} [/mm] mit [mm] \lambda \in \{ -1, 1 \} [/mm] und [mm] \alpha \in (0,\pi). [/mm] Geben sie die Normalform konkret an.
Hinweis: Die zugehörige Basis muss nicht bestimmt werde. Es reicht die Angabe der Form [mm] \alpha [/mm] = arccos(..). |
Hallo liebe Mathematiker. Ich bin das erste mal hier und hoffe, dass ihr mir helfen könnt.
Ich verstehe nicht ganz, wie ich bei dieser Aufgabe anfangen soll. Zuvor hatte ich eine sehr ähnliche Aufgabe, bei der ich aber die orthogonal Basis ermitteln musste und dann auf das Alpha kommen konnte. Ich habe dies mit der Abbildungsvorschrit gemacht. Nun gibt es diese in dieser Aufgabe nicht. Daher stehe ich nun in einer Sackgasse.
Ich wäre für einen Tipp oder einen Lösungsweg sehr dankbar :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:11 Fr 04.09.2015 | | Autor: | hippias |
![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
Die Abbildungsvorschift ist hier [mm] $\IR^{3}\ni x\mapsto Ax\in\IR^{3}$, [/mm] d.h. $x$ wird mit der Matrix $A$ multipliziert. Damit koenntest Du diese wie die andere Aufgabe loesen.
Aber der Tip legt ja eine andere Vorgehensweise nahe. Ihr habt in der Vorlesung sicherlich geklaert, welche Eigenwerte eine orthogonale Matrix ueberhaupt nur haben kann und wie die Normlformen nur aussehen koennen. Fuer den Winkel [mm] $\alpha$ [/mm] nur soviel: Spur!
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Danke erstmal für deine Antwort :)
Ah okay dann hätte ich es also auch so machen können, klingt erstmal beruhigend^^.
Ja genau, die Eigenwerte einer orthogonalen Matrix sind ja -1 oder 1.
Ich habe das charakteristische Polynom bestimmt und jeweils 1 und -1 eingesetzt. Raus kam, dass nur 1 ein Eigenwert ist.
Kannst du mir das mit der Spur näher erläutern? ^^
Danke und MFG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:41 Sa 05.09.2015 | | Autor: | hippias |
Es gibt immer viele Moeglichkeiten ein Problem zu loesen, obwohl sie sicher unterschiedlich effektiv sind.
Zu dem Hinweis mit der Spur: Ueberlege Dir, was die Spur der Matrix in Normalenform ist; da steckt der Winkel [mm] $\alpha$ [/mm] drin. Dann mache Dir klar, dass die Spur der gegebenen Matrix, die Du ja ganz leicht ermittelen kannst, gleich der Spur ihrer Normalenform ist.
Damit haettest Du eine Gleichung fuer [mm] $\alpha$.
[/mm]
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Okay, danke für den Tipp :)
Die Spur der Matrix A ist ja -1+2-2= -1, also muss die Spur der gesuchten Matrix ebenfalls -1 haben.
Auf der Hauptdiagonalen steht glaube ich:
[mm] \lambda [/mm] =1, [mm] cos(\alpha), cos(\alpha)
[/mm]
Daraus ergibt sich dann die Gleichung:
1+ [mm] 2cos(\alpha) [/mm] = -1
Darasu folgt schließlich [mm] cos(\alpha) [/mm] =-1
=> arccos(-1)= 180. Also ist [mm] \alpha [/mm] = 180
wenn ich nun 1+ 2*cos(180) als Probe einsetze, bekomme ich ebenfalls -1 raus.
Habe ich das so richtig verstanden oder ist das Quark?^^
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:40 So 06.09.2015 | | Autor: | hippias |
Ich habe nicht nachgerechnet, der Rechenweg ist aber richtig.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:46 So 06.09.2015 | | Autor: | DerNeuling |
okay. ich habe nur den Faktor vor der Matrix ausgelassen. Der Rest müsste stimmen :)
Vielen Dank für deine Hilfe :)
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