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| Aufgabe | Bestimme eine Normalform der Symmetrieebene von
g: [mm] \overrightarrow{X} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{1 \\ 2 \\ 4}
[/mm]
und
h: [mm] \overrightarrow{X} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 4 \\ -1} [/mm] + [mm] \mu \vektor{1 \\ 2 \\ 4} [/mm] |
Hallo!
Diese Aufgabe ist im Buch als "schwierig" bzw. "zeitaufwendig" gekennzeichnet.
Wir haben die Aufgabe in der Schule besprochen, allerdings verstehe ich jetzt einige Zusammenhänge nicht...
[Dateianhang nicht öffentlich]
[mm] \overrightarrow{M} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \pmat{ 1 & +3 \\ 0 & +4 \\ 1 & -1} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 2 \\ 0}
[/mm]
Richtungsvektoren von S
[mm] \overrightarrow{u}_{1} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 4}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{v} [/mm] = ? [mm] \overrightarrow{v} \perp \overrightarrow{AB} [/mm] und [mm] \overrightarrow{v} \perp \vektor{1 \\ 2 \\ 4}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{AB} [/mm] = [mm] \overrightarrow{B} [/mm] - [mm] \overrightarrow{A} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 4 \\ -2}
[/mm]
I.) [mm] 4v_{1} [/mm] + [mm] 4v_{2} [/mm] - [mm] 2v_{3} [/mm] = 0
II.) [mm] v_{1} [/mm] + [mm] 2v_{2} [/mm] + [mm] 4v_{3} [/mm] = 0
I.) - 2II.) [mm] -10v_{3} [/mm] = 0
[mm] v_{3} [/mm] = 0
z. B. [mm] v_{2} [/mm] = 1 -> [mm] v_{1} [/mm] + 2 = 0
[mm] v_{1} [/mm] = -2
[mm] \overrightarrow{v} [/mm] = [mm] \vektor{-2 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
S: [mm] \overrightarrow{X} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 2 \\ 0} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{1 \\ 2 \\ 4} [/mm] + [mm] \mu \vektor{-2 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
S: [mm] -4x_{1} [/mm] - [mm] 8x_{2} [/mm] + [mm] 5x_{3} [/mm] + 24 = 0
Folgende Verständnisprobleme:
Aus welchem Grunde kann ich nicht den Vektor [mm] \overrightarrow{AM} [/mm] als Normalvektor und den Punkt M als Aufpunktsvektor nutzen?
Dadurch, dass ich den Lösungsansatz nicht verstehe, ist mir die Aufgabe ein komplettes Rätsel...
Gruß
el_grecco
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:12 So 02.03.2008 | | Autor: | zetamy |
Hallo,
> [mm]\overrightarrow{M}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2} \pmat{ 1 & +3 \\ 0 & +4 \\ 1 & -1}[/mm]
> = [mm]\vektor{2 \\ 2 \\ 0}[/mm]
>
> Richtungsvektoren von S
> [mm]\overrightarrow{u}_{1}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 4}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{v}[/mm] = ? [mm]\overrightarrow{v} \perp \overrightarrow{AB}[/mm]
> und [mm]\overrightarrow{v} \perp \vektor{1 \\ 2 \\ 4}[/mm]
Berechne doch mal den Vektor [mm]\overrightarrow{AM}[/mm]. Du wirst sehen er ist ein vielfaches vom Vektor [mm]\overrightarrow{AB}[/mm], dh beide sind Richtungsvektoren der Ebene S. AM liegt also in der gesuchten Ebene und kann deshalb nicht senkrecht auf ihr stehen.
>
> [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] = [mm]\overrightarrow{B}[/mm] -
> [mm]\overrightarrow{A}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 4 \\ -2}[/mm]
>
> I.) [mm]4v_{1}[/mm] + [mm]4v_{2}[/mm] - [mm]2v_{3}[/mm] = 0
> II.) [mm]v_{1}[/mm] + [mm]2v_{2}[/mm] + [mm]4v_{3}[/mm] = 0
Hier ist ein kleiner (Tipp-)Fehler: bei I.) muss [mm]2*v_{1}[/mm] stehen.
>
>
> I.) - 2II.) [mm]-10v_{3}[/mm] = 0
> [mm]v_{3}[/mm] = 0
>
> z. B. [mm]v_{2}[/mm] = 1 -> [mm]v_{1}[/mm] + 2 = 0
> [mm]v_{1}[/mm] = -2
>
> [mm]\overrightarrow{v}[/mm] = [mm]\vektor{-2 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>
> S: [mm]\overrightarrow{X}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 2 \\ 0}[/mm] + [mm]\lambda \vektor{1 \\ 2 \\ 4}[/mm]
> + [mm]\mu \vektor{-2 \\ 1 \\ 0}[/mm]
Prinzipiell kannst du jeden Punkt der Ebene als als Stützvektor bzw Aufpunktsvektor benutzen. Aufgrund der Wahl der Richtungsvektoren hätte man hier allerdings A nehmen sollen.
>
> S: [mm]-4x_{1}[/mm] - [mm]8x_{2}[/mm] + [mm]5x_{3}[/mm] + 24 = 0
Das ist die Koordinatenform der Ebene, aber nicht die Normalenform. Diese lautet: S: [mm] (\overrightarrow{x}-\overrightarrow{A})*\overrightarrow{n}=0 [/mm]
>
>
> Folgende Verständnisprobleme:
> Aus welchem Grunde kann ich nicht den Vektor
> [mm]\overrightarrow{AM}[/mm] als Normalvektor und den Punkt M als
> Aufpunktsvektor nutzen?
> Dadurch, dass ich den Lösungsansatz nicht verstehe, ist
> mir die Aufgabe ein komplettes Rätsel...
Gruß, zetamy
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:38 So 02.03.2008 | | Autor: | el_grecco |
O.K. Vielen Dank 
Jetzt ist mir das Ganze klar geworden.
Gruß
el_grecco
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