Normalform - Scheitelpunktform < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Wandel die Normalform y=x²+px+q in die Scheitelpunktform um und bestimme S. |
hallo!!
also, das ist ne zusatzaufgabe in meinem buch gewesen, deswegen macht sich mich etwas stutzig, aber ich habe das bis jetzt so gemacht:
y=x²+px+q ---> Normalform
y=(x+p)²+q ---> Scheitelpunktform
S: (-p;q), weil man S direkt an der Scheitelpunktform ablesen kann..
war das schon alles? und war das richtig?
viele grüße
informacao
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Hey Informacao!
Die Funktion
y = [mm] x^{2} [/mm] + p * x + q
musst du folgendermassen umformen:
y = (x + [mm] \bruch{p}{2})^{2} [/mm] - [mm] \bruch{p}{4} [/mm] + q
Denn wenn du die Klammer quadrierst erhälts du:
y = [mm] x^{2} [/mm] + 2 * [mm] \bruch{p}{2} [/mm] * x + [mm] \bruch{p}{4} [/mm] - [mm] \bruch{p}{4} [/mm] + q = [mm] x^{2} [/mm] + p * x + q
Für den x - Wert des Scheitelpunktes [mm] (x_{S}) [/mm] gilt:
[mm] x_{S} [/mm] = - [mm] \bruch{p}{2}
[/mm]
Für [mm] y_{s} [/mm] gilt:
[mm] y_{S} [/mm] = - [mm] \bruch{p}{4} [/mm] + q
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hey,
bist du inner 6. klasse? oO
nee das brauch ich mal ausführlicher..das habe ich garnicht verstanden..
informacao
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Also noch einmal ausführlicher. . .
Deine Umwandlung von der Normal - in die Scheitelpunktsform ist nicht korrekt.
Sie lautet ja:
y = (x + [mm] p)^{2} [/mm] + q
Die Bedingung der Umwandlung ist, das die Funktion die selbe bleibt. Wenn du allerdings die obere Scheitelpunktsform zurück in die Normalform bringt, erhältst du:
y = [mm] x^{2} [/mm] + 2 * p * x + [mm] p^{2} [/mm] + q
Was überhaupt nicht dasselbe ist wie:
y = [mm] x^{2} [/mm] + p * x +q
Beachte, dass
(a + [mm] b)^{2} [/mm] = [mm] a^{2} [/mm] + 2 * a * b + [mm] b^{2}
[/mm]
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naja, das ist mir schon klar...was an meiner falsch war..aber WIE führe ich die normalform in die scheitelpunktform um??? ich verstehe die umformungsschritte nicht!
informacao
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:11 Sa 21.10.2006 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Hier arbeitet man mit  quadratischer Ergänzung.
y=x²+px+q
[mm] $y=x^2+px+\overbrace{\bruch{p²}{4}-\bruch{p²}{4}}^{\text{quadr. Ergängzung}}+q$
[/mm]
Die obere Zeile war die besagte quadratische Ergänzung. Man addiert etwas aber zieht es sofort wieder ab, denn man darf ja nicht einfach etwas dazudichten ;) Aber das ganze hat doch einen Sinn:
Aus [mm] x²+px+\bruch{p²}{4} [/mm] kann man jetzt [mm] (x+\bruch{p}{2})² [/mm] machen.
[mm] y=(x²+px+\bruch{p²}{4})-\bruch{p²}{4}+q
[/mm]
wird zu
[mm] y=(x+\bruch{p}{2})²-\bruch{p²}{4}+q
[/mm]
Man geht also nur die binomische Formel rückwärts sozusagen.
[edit:informix]
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ach danke..ich habs ..aber nur fast^^
also eine frage hab ich noch...den scheitelpunkt kann man ja jetzt bestimmen : x=-p/2 und y=-p/2 + q
das schreibt man immer so..ich schreibs immer unbewusst schon, aber ich habs nicht richtig verstanden... WARUM ist das jetzt so..ja da is die scheitekpunktform und so..aber ich verstehe das WARUM nicht? !
viele grüße
informacao
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:34 Sa 21.10.2006 | | Autor: | Teufel |
Du meintest wohl [mm] y=-\bruch{p²}{4}+q [/mm] :)
Also, das fand ich auch immer etwas verwirrend und niemand konnte mir das so erklären, dass ich das nun richtig verstanden habe. Aber ich würde das so erklären:
Du hast z.B. y=(x-3)²+4
Ich fange mal mit dem x-Wert an:
Dann gehe ich erst von der Normalparabel y=x² aus, bei der der Scheitel ja bei x=0 liegt. Und weil ja in der Klammer dort -3 steht, ist das x also immer um 3 kleiner als es sonst eigentlich wäre. Und deshalb dauert es länger bis der Scheitel kommt, wenn man auf der x-Achse von links nach rechts wandert! Man muss also um 3 weiterreisen. Also kommt man erst bei x=3 beim Scheitel an.
Und bei der 4 ist das einfach, weil die gesamte Parabel dadurch nur um 4 nach oben verschoben wird. Jeder einzelne Punkt der Parabel, also auch der Scheitel! Und da er sonst bei y=0 liegt, liegt er nun bei y=4.
Die Erklärung ist eher anschaulich als mathematisch, aber vielleicht hilft es dir ja! Ansonsten soll sich noch jemand melden, der wirklich Ahnung davon hat :)
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