Normalenvektor gesucht! ABITUR < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:22 Di 07.02.2006 | | Autor: | RuffY |
Hallo Matheraum.de-User,
ich schreibe morgen meine Abiturarbeit in Mathe und hab jetzt etwas Panik, da ich nicht weiß, wie ich den Normalenvektor zu einer Ebene finden kann ohne das Kreuzprodukt. Dieses hatten wir nicht im Untericht behandelt.
Bsp: [mm]E:\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}+r*\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}+s*\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm]
Ich wäre für eine detaillierte Anleitung anhand dieses Beispiels sehr erfreut! Danke!
Sebastian
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Hallo RuffY!
Zunächst einmal viel ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]") für morgen!!
Gesucht ist also ein Normalenvektor [mm] $\vec{n} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{x\\y\\z}$ [/mm] , der jeweils senkrecht auf die beiden Richtungsvektoren stehen soll.
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]") Wenn zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen, gilt für das Skalarprdukt dieser beiden Vektoren, dass es gleich Null ist.
Für unsere Aufgabe heißt das:
[mm] $\vektor{x\\y\\z}*\vektor{1\\3\\4} [/mm] \ = \ 1*x+3*y+4*z \ = \ x+3y+4z \ = \ 0$
[mm] $\vektor{x\\y\\z}*\vektor{2\\-1\\3} [/mm] \ = \ 2*x+(-1)*y+3*z \ = \ 2x-y+3z \ = \ 0$
Wir haben also folgendes Gleichungssystem zu lösen:
(I) $x+3y+4z \ = \ 0$
(II) $2x-y+3z \ = \ 0$
Eliminieren wir hier z.B. zunächst $x_$ durch $2*(I)-(II)$ :
$7y+5z \ =\ 0$ [mm] $\gdw$ [/mm] $z \ = \ [mm] -\bruch{7}{5}y$
[/mm]
Nun wählen wir belibeig ein $y_$ (schließlich gibt es auch unendlich viele Normalenvektoren mit den genannten Eigenschaften). Taktisch klug ist hier der Wert $y \ = \ 5$ , um gannzahlige Werte zu erhalten:
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $z \ = \ [mm] -\bruch{7}{5}*5 [/mm] \ = \ -7$
Dies setzen wir dann in eine der obigen Gleichungen ein und ermitteln $x_$ :
$x+3*5+4*(-7) \ =\ x+15-28 \ = \ x-13 \ = \ 0$ [mm] $\gdw$ [/mm] $x \ = \ 13$
Ein gesuchter Normalenvektor lautet also: [mm] $\vec{n} [/mm] \ =\ [mm] \vektor{13\\5\\-7}$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:49 Di 07.02.2006 | | Autor: | RuffY |
Vielen Dank! Ich denke das klappt!  )
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