Normalenkegel bestimmen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:12 Do 05.05.2011 | | Autor: | DerGraf |
| Aufgabe | Bestimme die Normalenkegel [mm] N_{M}(x) [/mm] an die Menge
(a) [mm] M=[a,b]\subseteq\IR [/mm] für [mm] a,b\in\IR [/mm] in allen Punkten [mm] x\in [/mm] M;
(b) [mm] M=[-1,1]\times[-1,1]\subseteq\IR^{2} [/mm] in den Punkten x=(0,0), x=(-1,1), x=(1,0) und x=(1,1);
(c) [mm] M=\IR_{+}^{n} [/mm] im Punkt x=0;
(d) [mm] M=\{x\in\IR^{n}:x_{1}\ge0, x_{1}^{2}\ge x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+...+x_{n}^{2}\} [/mm] im Punkt x=0, wobei zunächst zu zeigen ist,dass es sich bei M um einen konvexen Kegel handelt! |
Hallo,
es ist recht leicht Elemente aus dem Normalenkegel zu bestimmen, doch alle zu finden, stellt für mich ein Problem dar. Dazu kommt noch die Intervallangabe in (a), da die Vorzeichen von a und b nicht ganz uninteressant sind. Wie will man so Aussagen zum Vorzeichen des Skalarproduktes aus der Definition der Normalenrichtung machen?
In der Vorlesung ist der Begriff bisher nicht gefallen, weshalb ich ihn im Internet suchen musste. Mir fehlen damit aber auch ein paar Anwendungsbeispiele, wie man am besten bei der Suche nach dem Kegel vorgeht.
Kann mir einer bei dieser Aufgabe weiterhelfen? Ich würde mich sehr freuen.
Gruß
DerGraF
|
|
| |
|
> Bestimme die Normalenkegel [mm]N_{M}(x)[/mm] an die Menge
>
> (a) [mm]M=[a,b]\subseteq\IR[/mm] für [mm]a,b\in\IR[/mm] in allen Punkten
> [mm]x\in[/mm] M;
> (b) [mm]M=[-1,1]\times[-1,1]\subseteq\IR^{2}[/mm] in den Punkten
> x=(0,0), x=(-1,1), x=(1,0) und x=(1,1);
> (c) [mm]M=\IR_{+}^{n}[/mm] im Punkt x=0;
> (d) [mm]M=\{x\in\IR^{n}:x_{1}\ge0, x_{1}^{2}\ge x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+...+x_{n}^{2}\}[/mm]
> im Punkt x=0, wobei zunächst zu zeigen ist,dass es sich
> bei M um einen konvexen Kegel handelt!
> Hallo,
>
> es ist recht leicht Elemente aus dem Normalenkegel zu
> bestimmen, doch alle zu finden, stellt für mich ein
> Problem dar. Dazu kommt noch die Intervallangabe in (a), da
> die Vorzeichen von a und b nicht ganz uninteressant sind.
> Wie will man so Aussagen zum Vorzeichen des
> Skalarproduktes aus der Definition der Normalenrichtung
> machen?
>
> In der Vorlesung ist der Begriff bisher nicht gefallen,
> weshalb ich ihn im Internet suchen musste. Mir fehlen damit
> aber auch ein paar Anwendungsbeispiele, wie man am besten
> bei der Suche nach dem Kegel vorgeht.
>
> Kann mir einer bei dieser Aufgabe weiterhelfen? Ich würde
> mich sehr freuen.
>
> Gruß
> DerGraF
Hallo,
ich habe den Begriff "Normalenkegel" bisher noch nie ange-
troffen und nur mal eine Definition gesucht und bin beshalb
in der Lage, wenigstens deine Beispiele (a) und (b) anschaulich
zu lösen.
Es wäre aber gut, wenn du zunächst einmal die exakte und
vollständige formale Definition des Begriffs "Normalenkegel
einer Menge M in einem Punkt x" angeben würdest, von der
auszugehen ist.
Dabei habe ich noch Zusatzfragen:
1.) wird vorausgesetzt, dass M konvex ist ?
2.) wird vorausgesetzt, dass [mm] x\in{M} [/mm] sein muss, oder darf x
auch am Rand einer (offenen) Menge M liegen oder gar ganz
im Äußeren von M ?
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 12:23 Fr 06.05.2011 | | Autor: | DerGraf |
Hallo Al-Chwarizmi,
vielen Dank erst mal für dein Interesse :)
Zu deiner ersten Frage: In (a) bis (c) ist die Konvexität ja offensichtlich und kann somit vorausgesetzt werden. Nur in (d) wird explizit ein Nachweis verlangt.
Nun zur Definition von [mm] N_{M}(x):
[/mm]
[mm] N_{M}(x)=\{s\in \IR^{n}: \sum_{i=1}^{n}s_{i}(x_{i}-y_{i})\le0\ \forall y\in M\}
[/mm]
Dabei ist in (a) n=1 und in (b) n=2, x muss aus M sein.
Gruß
DerGraf
|
|
|
| |
|
> Hallo Al-Chwarizmi,
>
> vielen Dank erst mal für dein Interesse :)
>
> Zu deiner ersten Frage: In (a) bis (c) ist die Konvexität
> ja offensichtlich und kann somit vorausgesetzt werden. Nur
> in (d) wird explizit ein Nachweis verlangt.
>
> Nun zur Definition von [mm]N_{M}(x):[/mm]
> [mm]N_{M}(x)=\{s\in \IR^{n}: \sum_{i=1}^{n}s_{i}(x_{i}-y_{i})\le0\quad \forall y\in M\}[/mm]
Nach der (anschaulichen) Definition, die ich gefunden habe,
müsste es eher so lauten:
[mm]N_{M}(x)\ =\ \{s\in \IR^{n}: \sum_{i=1}^{n}s_{i}*(\red{y_{i}-x_{i}})\le0\quad \forall y\in M\}[/mm]
Ferner:
Bei der Aufgabe (c) [mm] M=\IR_{+}^{n} [/mm] im Punkt x=0
gehört der Punkt x=0 meiner Ansicht nach nicht zu M !
Oder war dort gemeint
$\ M\ =\ [mm] \{(y_1,y_2,\,.....\,y_n)\ |\ y_i\ge0\ \ \ \forall i\}$ [/mm] ?
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:04 Fr 06.05.2011 | | Autor: | DerGraf |
Hallo,
Mit [mm] N_{M}(x)\ [/mm] =\ [mm] \{s\in \IR^{n}: \sum_{i=1}^{n}s_{i}\cdot{}(\red{y_{i}-x_{i}})\le0\quad \forall y\in M\} [/mm] hast du recht. Da hat sich ein Tippfehler eingeschlichen.
In der von mir gefundenen Definition sollte x aus M sein, womit [mm] M=\{(y_1,y_2,\,.....\,y_n)\ |\ y_i\ge0\ \ \ \forall i\} [/mm] die einzig mögliche Definition wäre.
Gruß
DerGraf
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:15 Fr 06.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> Mit [mm]N_{M}(x)\[/mm] =\ [mm]\{s\in \IR^{n}: \sum_{i=1}^{n}s_{i}\cdot{}(\red{y_{i}-x_{i}})\le0\quad \forall y\in M\}[/mm]
> hast du recht. Da hat sich ein Tippfehler eingeschlichen.
> In der von mir gefundenen Definition sollte x aus M sein,
> womit [mm]M=\{(y_1,y_2,\,.....\,y_n)\ |\ y_i\ge0\ \ \ \forall i\}[/mm]
> die einzig mögliche Definition wäre.
Dann nehmen wir uns doch das Beispiel mal vor: es ist also x=0.
Sei s [mm] \in N_M(0). [/mm] Sei j [mm] \in [/mm] { 1,2,..,n } und y der j-te Einheitsvektor des [mm] \IR^n. [/mm] Dann ist
[mm] s_j=\sum_{i=1}^{n}s_{i}\cdot{}(\red{y_{i}-x_{i}})\le0
[/mm]
Ist umgekehrt s [mm] \in \IR^n [/mm] und jede Koordinate von s [mm] \le [/mm] 0, so ist klar, dass s [mm] \in N_M(0)
[/mm]
Fazit:
[mm] N_M(0)=\{(s_1,...s_n): s_j \le 0 (j=1,2,..,n)\}$
[/mm]
FRED
>
> Gruß
> DerGraf
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:54 Fr 06.05.2011 | | Autor: | DerGraf |
Danke für deine Antwort Fred.
Also für (b) und x=(0,0) ergibt sich dann:
[mm] \sum_{i=1}^{2}s_{i}\cdot{}(y_{i}-x_{i})=s_{1}y_{1}+s_{2}y_{2})\le0
[/mm]
Setze [mm] y=e_{1} \Rightarrow s_{1}\le0.
[/mm]
Setze [mm] y=-e_{1} \Rightarrow s_{1}\ge0.
[/mm]
Setze [mm] y=e_{2} \Rightarrow s_{2}\le0.
[/mm]
Setze [mm] y=-e_{2} \Rightarrow s_{2}\ge0.
[/mm]
Zusammen ergibt sich: s=(0,0) ist einziger Kandidat.
[mm] \sum_{i=1}^{2}0\cdot{}(y_{i})=0
[/mm]
Damit ist [mm] N_{M}(x)=\{0\}.
[/mm]
Somit wäre (0,0) erledigt. Ist es OK so? Dann arbeite ich die anderen Punkte ab.
Gruß DerGraf
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:26 Fr 06.05.2011 | | Autor: | DerGraf |
Für x=(-1,1) muss gelten:
[mm] s_{1}(y_{1}+1)+s_{2}(y_{2}-1)\le0
[/mm]
Für [mm] y=e_{2} [/mm] folgt [mm] s_{1}\le0 [/mm] und für [mm] y=-e_{1} [/mm] folgt [mm] s_{2}\ge0.
[/mm]
Damit ist die [mm] S=\{s\in\IR^{2}: s_{1}\le0\wedge s_{1}\ge0\}\supseteq N_{M}(x).
[/mm]
Es ist [mm] (y_{1}+1)\ge0 [/mm] für [mm] y_{1}\in[-1,1] [/mm] und [mm] (y_{2}-1)\le0 [/mm] für [mm] y_{2}\in[-1,1] \Rightarrow s_{1}(y_{1}+1)+s_{2}(y_{2}-1)\le0 [/mm] für alle [mm] s\in [/mm] S.
Zusammen ergibt sich [mm] S=N_{M}(x).
[/mm]
|
|
|
| |
|
> Danke für deine Antwort Fred.
>
> Also für (b) und x=(0,0) ergibt sich dann:
>
> [mm]\sum_{i=1}^{2}s_{i}\cdot{}(y_{i}-x_{i})=s_{1}y_{1}+s_{2}y_{2})\le0[/mm]
>
> Setze [mm]y=e_{1} \Rightarrow s_{1}\le0.[/mm]
> Setze [mm]y=-e_{1} \Rightarrow s_{1}\ge0.[/mm]
>
> Setze [mm]y=e_{2} \Rightarrow s_{2}\le0.[/mm]
> Setze [mm]y=-e_{2} \Rightarrow s_{2}\ge0.[/mm]
>
> Zusammen ergibt sich: s=(0,0) ist einziger Kandidat.
>
> [mm]\sum_{i=1}^{2}0\cdot{}(y_{i})=0[/mm]
>
> Damit ist [mm]N_{M}(x)=\{0\}.[/mm]
>
> Somit wäre (0,0) erledigt. Ist es OK so?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Yep.
> Dann arbeite ich die anderen Punkte ab.
>
> Gruß DerGraf
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:17 Fr 06.05.2011 | | Autor: | DerGraf |
Für x=(1,0) habe ich 4 Überlegungen angestellt:
(i) y=(1,1) [mm] \Rightarrow s_{2}\le0;
[/mm]
(ii) y=(1,-1) [mm] \Rightarrow s_{2}\ge0;
[/mm]
(iii) y=(0,0) [mm] \Rightarrow s_{1}\ge0;
[/mm]
(iv) [mm] (y_{1}-1)\le0 [/mm] für alle [mm] y_{1}\in[-1,1].
[/mm]
Aus (i) und (ii) folgt: [mm] s_{2}=0.
[/mm]
Zusammen mit (iii) ergibt sich: [mm] S=\{s\IR^{2}: s_{1}\ge0\wedge s_{2}=0\}\supseteq N_{M}(x).
[/mm]
Mit (iv) folgt schließlich die Gleichheit von S und [mm] N_{M}(x).
[/mm]
Zu (d): Für [mm] y=e_{1} [/mm] ergibt sich [mm] s_{1}\le0 [/mm] auf weitere Ideen zur Eingrenzung bin ich noch nicht gekommen. In der Skalarproduktformel tauchen auch keine Quadrate auf. Habt ihr einen Tipp für mich?
Gruß
DerGraf
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:22 Mi 11.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
