Normalenform der Ebene < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:28 Fr 23.03.2007 | | Autor: | Meli90 |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgenden Ebenen auf Parallelität und Gleichheit:
[mm] E_{1}: \vec{x}=\vektor{1 \\ -2 \\ 0}+\lambda \vektor{2 \\ 1 \\ 3}+ \mu \vektor{5 \\ 4 \\ 0}
[/mm]
[mm] E_{2}: \vec{x}=\vektor{4 \\ 0 \\ 2}+\lambda \vektor{7 \\ 5 \\ 3}+ \mu \vektor{1 \\ 1 \\ -1} [/mm] |
Hey zusammen!
Eigentlich stellt die Frage wenig Probleme für mich: gleichsetzten und auflösen. Nun ist aber das ganze mit der Normalenform zu lösen, was es mir schon recht viel schwieriger macht.. ich habe in Erinnerung, dass da [mm] (\vec{x}-\vec{p})*\vec{n}=0
[/mm]
wobei [mm] \vec{x} [/mm] die Unbekannte ist
[mm] \vec{p} [/mm] irgend ein Punkt auf der Ebene
und [mm] \vec{n} [/mm] der Normalenvektor.
Nun könnte ich das soweit auch aufstellen, nur ist in der Lösung
[mm] \vec{n}*\vec{x}+42=0
[/mm]
42 im Fall der Ebenengleichung [mm] E_{1}
[/mm]
Meine Frage ist, was ist das 42 und wie komm ich da drauf?!
Vielen lieben Dank für eure Hilfe..
Meli
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:36 Fr 23.03.2007 | | Autor: | Meli90 |
Oje die Ebenengleichungen wurden ja völlig unleserlich, also versuche es nochmals:
Untersuchen Sie die folgenden Ebenen auf Parallelität und Gleichheit:
[mm] E_{1}: \vec{x}=\vektor{1\\-2\\0}+\lambda\vektor{2\\1\\3}+\mu\vektor{5\\ 4\\0}
[/mm]
[mm] E_{2}: \vec{x}=\vektor{4\\0\\2}+\lambda\vektor{7\\5\\3}+\mu\vektor{1\\1\\-1}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:23 Fr 23.03.2007 | | Autor: | Flomo |
die 42 ist das produkt der beiden Vekoren p und n
nachdem aus den beiden Richtungsvektoren der Ebene E1 die Normalenform gebildet wurde, hast Du eine Multiplikation der Vektoren in der Klammer getan:
(X-p)*n=0
X*n-p*n=0
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Hallo,
wie Flomo sagt, ist die [mm] 42=\vec{n}*\vec{p}.
[/mm]
Hast Du etwas anderes ausgerechnet?
Der Normalenvektor von [mm] E_1 [/mm] ist [mm] \vec{n}= \vektor{2 \\ 1 \\ 3}x \vektor{5 \\ 4 \\ 0}=\vektor{-12 \\ 15 \\ 3},
[/mm]
als Punkt bietet sich [mm] \vec{p}=\vektor{2 \\ 1 \\ 3} [/mm] an.
So erhält man
[mm] 0=\vec{n}(\vec{x}-\vec{p})=\vektor{-12 \\ 15 \\ 3}*(\vec{x}-\vektor{2 \\ 1 \\ 3})=\vektor{-12 \\ 15 \\ 3}*\vec{x}-\vektor{-12 \\ 15 \\ 3}*\vektor{2 \\ 1 \\ 3}
[/mm]
Falls Du die Hessesche Normalenform aufstellen sollst, mußt Du die ganze Gleichung durch den Betrag (die Länge) von [mm] \vektor{-12 \\ 15 \\ 3} [/mm] teilen. Die [mm] 42/|\vektor{-12 \\ 15 \\ 3}| [/mm] liefert Dir dann den Abstand der Ebene vom Nullpunkt.
Gruß v. Angela
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