Normale Körpererweiterung? < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien [mm] L_{2}/L_{1} [/mm] sowie [mm] L_{1}/K [/mm] normale Körpererweiterungen.
Folgt daraus schon, dass [mm] L_{2}/K [/mm] normal ist? |
Hallo!
Ich habe nun schon unglaublich viel Zeit in dieses Beispiel investiert, allerdings ohne eben auf die Lösung zu kommen.
Ich habe leider auch keine Ahnung, ob denn die Aussage stimmt, oder nicht, wobei ich momentan letzeres vermute, mir es allerdings nicht gelang, ein Gegenbeispiel zu konstruieren.
Meine Idee zum Gegenbeispiel wäre, dass man, um die Aussage zu widerlegen, sich [mm] L_{2} [/mm] und [mm] L_{1} [/mm] derart als Zerfällungskörper von Polynomen f [mm] \in L_{1} [/mm] [X] \ K[x] (zerfällt in [mm] L_{2}) [/mm] bzw. g [mm] \in [/mm] K[X] (zerfällt in [mm] L_{1} [/mm] [X] ) konstruiert, sodass man aber ein [mm] \alpha \in Hom_{K} (L_{2}, [/mm] A) konstruieren kann, sodass eine Nullstelle von f, die nicht in [mm] L_{1} [/mm] liegt, nach [mm] A\L_{2} [/mm] abgebildet wird, wobei A der algebraische Abschluss von K sein soll. Tja, jetzt müsste man nur noch konstruieren....
Danke jedenfalls für alle Tipps, mir wäre schon sehr geholfen, wenn ich wüsste ob die Aussage wahr oder falsch ist.
Ich habe diese Frage in keinen weiteren Foren gepostet.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:07 Sa 17.05.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Seien [mm]L_{2}/L_{1}[/mm] sowie [mm]L_{1}/K[/mm] normale
> Körpererweiterungen.
>
> Folgt daraus schon, dass [mm]L_{2}/K[/mm] normal ist?
>
> Ich habe nun schon unglaublich viel Zeit in dieses
> Beispiel investiert, allerdings ohne eben auf die Lösung zu
> kommen.
> Ich habe leider auch keine Ahnung, ob denn die Aussage
> stimmt, oder nicht, wobei ich momentan letzeres vermute,
> mir es allerdings nicht gelang, ein Gegenbeispiel zu
> konstruieren.
Das ist ein guter Ansatz, die Aussage ist naemlich falsch :)
> Meine Idee zum Gegenbeispiel wäre, dass man, um die Aussage
> zu widerlegen, sich [mm]L_{2}[/mm] und [mm]L_{1}[/mm] derart als
> Zerfällungskörper von Polynomen f [mm]\in L_{1}[/mm] [X] \ K[x]
> (zerfällt in [mm]L_{2})[/mm] bzw. g [mm]\in[/mm] K[X] (zerfällt in [mm]L_{1}[/mm] [X]
> ) konstruiert, sodass man aber ein [mm]\alpha \in Hom_{K} (L_{2},[/mm]
> A) konstruieren kann, sodass eine Nullstelle von f, die
> nicht in [mm]L_{1}[/mm] liegt, nach [mm]A\L_{2}[/mm] abgebildet wird, wobei A
> der algebraische Abschluss von K sein soll. Tja, jetzt
> müsste man nur noch konstruieren....
Es geht viiiiel einfacher :)
Tipp: Koerpererweiterungen von Grad 2 sind immer normal. Welche von Grad 4 dagegen nicht umbedingt.
Kannst du damit was anfangen?
LG Felix
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Ja, dass die Idee hatte ich auch. Also genauer habe ich mit Adjunktionen von Wurzeln an [mm] \IQ [/mm] herumgespielt, und so versucht, ein Gegenbeispiel zu gewinnen (Also im Stile von [mm] L_{2} [/mm] = [mm] \IQ (i,\wurzel[2]{2}), L_{1} [/mm] = [mm] \IQ (\wurzel[2]{2}) [/mm] )
..... aber ich komme leider nirgendwohin
Würde mich sehr über einen weiteren Tipp freuen.
Aber schön zu wissen, dass wenigstens meine Vermutung stimmt :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:20 Sa 17.05.2008 | | Autor: | andreas |
hi
probiere doch mal den größeren körper durch adjunktion von nur einem element entsetehn zu lassen, also etwa [mm] $L_2 [/mm] = [mm] \mathbb{Q}(\sqrt[4]{2})$. [/mm] was wäre jetzt ein geeignetes [mm] $L_1$?
[/mm]
grüße
andreas
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Ok, jetzt hab ichs hoffentlich:
Sei also [mm] L_{2} [/mm] = [mm] \IQ(\wurzel[4]{2}) [/mm] , [mm] L_{1} [/mm] = [mm] \IQ(\wurzel[2]{2})
[/mm]
Sei A der algebraische Abschluss von [mm] \IQ
[/mm]
[mm] L_{2} [/mm] ist der Zerfällungskörper von [mm] X^{2} [/mm] - [mm] \wurzel[2]{2} \in L_{1}[X], [/mm]
also ist [mm] L_{2}/L_{1} [/mm] eine normale Körpererweiterung
Sei [mm] \alpha \in Hom_{\IQ}(L_{2}, [/mm] A), definiert wie folgt
[mm] \alpha [/mm] : [mm] \wurzel[4]{2} \mapsto -i\wurzel[4]{2}
[/mm]
Da das Bild von [mm] \alpha [/mm] nicht in [mm] L_{1} [/mm] liegt, kann [mm] L_{1} [/mm] keine normale Erweiterung sein.
Gegenbeispiele zu konstruieren finde ich unheimlich schwierig... ich möchte nicht wissen wieviel Zeit ich in dieses Beispiel investiert habe...
Danke jedenfalls für die Hilfe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:19 So 18.05.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Ok, jetzt hab ichs hoffentlich:
> Sei also [mm]L_{2}[/mm] = [mm]\IQ(\wurzel[4]{2})[/mm] , [mm]L_{1}[/mm] =
> [mm]\IQ(\wurzel[2]{2})[/mm]
> Sei A der algebraische Abschluss von [mm]\IQ[/mm]
> [mm]L_{2}[/mm] ist der Zerfällungskörper von [mm]X^{2}[/mm] - [mm]\wurzel[2]{2} \in L_{1}[X],[/mm]
> also ist [mm]L_{2}/L_{1}[/mm] eine normale Körpererweiterung
>
> Sei [mm]\alpha \in Hom_{\IQ}(L_{2},[/mm] A), definiert wie folgt
> [mm]\alpha[/mm] : [mm]\wurzel[4]{2} \mapsto -i\wurzel[4]{2}[/mm]
>
> Da das Bild von [mm]\alpha[/mm] nicht in [mm]L_{1}[/mm] liegt, kann [mm]L_{1}[/mm]
> keine normale Erweiterung sein.
ja, das passt alles so.
grüße
andreas
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