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| Aufgabe | Katharina hat im Sommersemester jeden Tag bis 13Uhr eine Veranstaltung und geht danach in die Mensa. Im Mittel ist einmal pro Woche (5 Tage) das Essen ausverkauft.
a) Wie oft sollte Katharina erwarten, an den 60 Tagen des Semesters in der Mensa kein Essen zu bekommen?
Geben Sie einen Ausdruck für die exakte Wahrscheinlichkeit dafür an, dass Katharina an genau 15 Tagen des Semesters in der Mensa kein Essen erhält. (Die Wahrscheinlichkeit ist nicht zu berechnen.)
c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit in b) näherungsweise durch Normalapproximation. |
Hallo!
Bei a und b bin ich mir ziemlich sicher, bei der c leider nicht so.
Könnte mir da jemand weiter helfen?
Ich definiere
[mm] X:=\summe_{i=1}^{60} [/mm]
mit
[mm] X_i:= \begin{cases} 0, & \mbox{Essen nicht ausverkauft } \\ 1, & \mbox{Essen ausverkauft } \end{cases} [/mm]
wobei
[mm] P(X_i=1)= \bruch{1}{5} [/mm]
a) [mm] E(X)= n*P(X_i=1)=60*\bruch{1}{5} =12 [/mm]
b) [mm] P(X=15)= \vektor{60 \\ 15} * 0.2^{15} * 0.8^{45} [/mm]
c) Die Normalapproximation ist die Annäherung durch Moivre-Laplace, sd.
[mm] P(x_1 \le S_n \le x_2)= \summe_{k=x_1}^{x_2} \vektor{n \\ k}*p^k*(1-p)^{n-k} \approx \phi(\bruch{x_2+0.5-\mu}{\sigma})-\phi(\bruch{x_2-0.5-\mu}{\sigma}) [/mm]
mit
[mm] \mu = n*p, \sigma = \sqrt{np(1-p)} [/mm]
Hier will ich aber ja dass [mm] X=S_n=k, [/mm] also sozusagen, dass [mm] x_1=x_2=k=15
[/mm]
Damit würde ich erhalten:
[mm] P(15 \le S_{60} \le 15) \approx \phi(\bruch{15+0.5-12}{\sqrt{9\bruch{3}{5}}})-\phi(\bruch{15-0.5-12}{\sqrt{9\bruch{3}{5}}}) \approx \phi(1.13) - \phi(0.81) = 0.8708 - 0.7910 = 0.0798 = 7.98 [/mm] %
Stimmt das so?
Wäre super, wenn mir jemand helfen könnte!
Grüßle Lily
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> a) [mm]E(X)= n*P(X_i=1)=60*\bruch{1}{5} =12[/mm]
Richtig.
> b) [mm]P(X=15)= \vektor{60 \\ 15} * 0.2^{15} * 0.8^{45}[/mm]
Auch richtig. Ausgerechnet gibt das [mm] $0.0759211\ldots\approx7.59\,\%$.
[/mm]
Falls Dein Taschenrechner da sterikt: benutz z.B. Wolfram Alpha:
![[]](/images/popup.gif) http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2860+choose+15%29+*+0.2^15+*+0.8^45
> c) Die Normalapproximation ist die Annäherung durch
> Moivre-Laplace, sd.
> [mm]P(x_1 \le S_n \le x_2)= \summe_{k=x_1}^{x_2} \vektor{n \\ k}*p^k*(1-p)^{n-k} \approx \phi(\bruch{x_2+0.5-\mu}{\sigma})-\phi(\bruch{x_2-0.5-\mu}{\sigma})[/mm]
Hier meinst Du eher
[mm]P(x_1 \le S_n \le x_2)= \summe_{k=x_1}^{x_2} \vektor{n \\ k}*p^k*(1-p)^{n-k} \approx \phi(\bruch{x_2+0.5-\mu}{\sigma})-\phi(\bruch{x_1-0.5-\mu}{\sigma})[/mm]
dann stimmt es.
> Damit würde ich erhalten:
> [mm]P(15 \le S_{60} \le 15) \approx \phi(\bruch{15+0.5-12}{\sqrt{9\bruch{3}{5}}})-\phi(\bruch{15-0.5-12}{\sqrt{9\bruch{3}{5}}}) \approx \phi(1.13) - \phi(0.81) = 0.8708 - 0.7910 = 0.0798 = 7.98\,\%[/mm]
Genau so macht man das.
Gruss,
Hanspeter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:36 Mo 05.01.2015 | | Autor: | Mathe-Lily |
Ups ja, da hab ich mich verschrieben und den nächsten Schritt direkt vorweg genommen.
Vielen lieben Dank 
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> Ups ja, da hab ich mich verschrieben und den nächsten
> Schritt direkt vorweg genommen.
Hab ich mir gedacht ;)
> Vielen lieben Dank
Gern geschehen.
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