Norm von exp? < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Das Anfangswertproblem [mm] u_{t}=P(D)u [/mm] mit [mm] u_{0}=u(\cdot,0) [/mm] heißt korrekt gestellt, wenn es Konstanten [mm] K>0,\alpha\in\mathbb{R} [/mm] gibt, mit
[mm] |e^{tP(iy)}|\leq Ke^{\alpha t} [/mm] für alle [mm] t\geq0,y\in\mathbb{R}^{n}.
[/mm]
Dabei bezeichnet [mm] P(iy)=\sum_{|\alpha|\leq k}A_{\alpha}(iy)^{\alpha} [/mm] mit Matrizen [mm] A_{\alpha}\in\mathbb{C}^{m\times m}.
[/mm]
Was bedeutet hier [mm] |e^{tP(iy)}|? [/mm] |
Hallo,
also mir wird aus der Definition nicht ersichtlich, was die “Betragsstriche” da bedeuten. Soll das die Determinante sein oder irgendeine bestimmte Norm?
In einem Beispiel, das mir vorliegt, wird das Ganze folgendermaßen gemacht:
Betrachte: [mm] u_{t}=\begin{pmatrix}1 & 1\\
0 & 1\end{pmatrix}u_{x}-u.
[/mm]
Dann ist [mm] A_{0}=-I_{2} [/mm] (Identität) und [mm] A_{1}=\begin{pmatrix}1 & 1\\
0 & 1\end{pmatrix}, [/mm] also gilt [mm] P(iy)=iyA_{1}-I_{2}.
[/mm]
Demnach: [mm] e^{tP(iy)}=\exp((-t+ity)I_{2}+iyt\begin{pmatrix}0 & 1\\
0 & 0\end{pmatrix})=\exp(t(-1+iy))\exp(iyt\begin{pmatrix}0 & 1\\
0 & 0\end{pmatrix})
[/mm]
[mm] =e^{t(-1+iy)}\begin{pmatrix}1 & iyt\\
0 & 1\end{pmatrix}.
[/mm]
Die Rechenschritte sind ja alle klar. Jetzt kommts:
[mm] |e^{tP(iy)}|=e^{-t}\left|\begin{pmatrix}1 & iyt\\
0 & 1\end{pmatrix}\right|. [/mm] An dieser Stelle kommt bei mir die Frage auf, wieso denn [mm] |e^{tiy}|=1 [/mm] sein soll??
Dann wird gefolgert:
[mm] e^{-t}|yt|\leq|e^{tP(iy)}|\leq e^{-t}(1+|yt|). [/mm] Das kann ich auch nicht sehen. Wenn [mm] |\cdot| [/mm] wirklich die Determinante sein sollte, dann müsste das doch immer [mm] \leq e^{-t} [/mm] sein, damit stimmt auf jeden Fall die rechte Seite. Aber wieso sollte die linke gelten?
|
|
| |
|
Hallo T_sleeper,
> Das Anfangswertproblem [mm]u_{t}=P(D)u[/mm] mit [mm]u_{0}=u(\cdot,0)[/mm]
> heißt korrekt gestellt, wenn es Konstanten
> [mm]K>0,\alpha\in\mathbb{R}[/mm] gibt, mit
>
> [mm]|e^{tP(iy)}|\leq Ke^{\alpha t}[/mm] für alle
> [mm]t\geq0,y\in\mathbb{R}^{n}.[/mm]
>
> Dabei bezeichnet [mm]P(iy)=\sum_{|\alpha|\leq k}A_{\alpha}(iy)^{\alpha}[/mm]
> mit Matrizen [mm]A_{\alpha}\in\mathbb{C}^{m\times m}.[/mm]
>
> Was bedeutet hier [mm]|e^{tP(iy)}|?[/mm]
> Hallo,
>
> also mir wird aus der Definition nicht ersichtlich, was die
> “Betragsstriche” da bedeuten. Soll das die Determinante
> sein oder irgendeine bestimmte Norm?
>
> In einem Beispiel, das mir vorliegt, wird das Ganze
> folgendermaßen gemacht:
>
> Betrachte: [mm]u_{t}=\begin{pmatrix}1 & 1\\
0 & 1\end{pmatrix}u_{x}-u.[/mm]
>
> Dann ist [mm]A_{0}=-I_{2}[/mm] (Identität) und
> [mm]A_{1}=\begin{pmatrix}1 & 1\\
0 & 1\end{pmatrix},[/mm] also gilt
> [mm]P(iy)=iyA_{1}-I_{2}.[/mm]
>
> Demnach: [mm]e^{tP(iy)}=\exp((-t+ity)I_{2}+iyt\begin{pmatrix}0 & 1\\
0 & 0\end{pmatrix})=\exp(t(-1+iy))\exp(iyt\begin{pmatrix}0 & 1\\
0 & 0\end{pmatrix})[/mm]
>
> [mm]=e^{t(-1+iy)}\begin{pmatrix}1 & iyt\\
0 & 1\end{pmatrix}.[/mm]
>
> Die Rechenschritte sind ja alle klar. Jetzt kommts:
>
> [mm]|e^{tP(iy)}|=e^{-t}\left|\begin{pmatrix}1 & iyt\\
0 & 1\end{pmatrix}\right|.[/mm]
> An dieser Stelle kommt bei mir die Frage auf, wieso denn
> [mm]|e^{tiy}|=1[/mm] sein soll??
[mm]e^{t*i*y}[/mm] ist eine komplexe Zahl.
Gemäß der Eulerschen Identität gilt:
[mm]e^{t*i*y}=\cos\left(t*y \right)+i*\sin\left(t*y \right)[/mm]
Der Betrag dieser komplexen Zahl ist 1
>
> Dann wird gefolgert:
>
> [mm]e^{-t}|yt|\leq|e^{tP(iy)}|\leq e^{-t}(1+|yt|).[/mm] Das kann ich
> auch nicht sehen. Wenn [mm]|\cdot|[/mm] wirklich die Determinante
> sein sollte, dann müsste das doch immer [mm]\leq e^{-t}[/mm] sein,
> damit stimmt auf jeden Fall die rechte Seite. Aber wieso
> sollte die linke gelten?
Nein, das ist nicht die Determinante.
Vielmehr ist [mm]\vmat{ \ \ }[/mm] hier die Spalten- bzw. Zeilensummennorm.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
> Hallo T_sleeper,
>
> > Das Anfangswertproblem [mm]u_{t}=P(D)u[/mm] mit [mm]u_{0}=u(\cdot,0)[/mm]
> > heißt korrekt gestellt, wenn es Konstanten
> > [mm]K>0,\alpha\in\mathbb{R}[/mm] gibt, mit
> >
> > [mm]|e^{tP(iy)}|\leq Ke^{\alpha t}[/mm] für alle
> > [mm]t\geq0,y\in\mathbb{R}^{n}.[/mm]
> >
> > Dabei bezeichnet [mm]P(iy)=\sum_{|\alpha|\leq k}A_{\alpha}(iy)^{\alpha}[/mm]
> > mit Matrizen [mm]A_{\alpha}\in\mathbb{C}^{m\times m}.[/mm]
> >
> > Was bedeutet hier [mm]|e^{tP(iy)}|?[/mm]
> > Hallo,
> >
> > also mir wird aus der Definition nicht ersichtlich, was die
> > “Betragsstriche” da bedeuten. Soll das die Determinante
> > sein oder irgendeine bestimmte Norm?
> >
> > In einem Beispiel, das mir vorliegt, wird das Ganze
> > folgendermaßen gemacht:
> >
> > Betrachte: [mm]u_{t}=\begin{pmatrix}1 & 1\\
0 & 1\end{pmatrix}u_{x}-u.[/mm]
>
> >
> > Dann ist [mm]A_{0}=-I_{2}[/mm] (Identität) und
> > [mm]A_{1}=\begin{pmatrix}1 & 1\\
0 & 1\end{pmatrix},[/mm] also
> gilt
> > [mm]P(iy)=iyA_{1}-I_{2}.[/mm]
> >
> > Demnach: [mm]e^{tP(iy)}=\exp((-t+ity)I_{2}+iyt\begin{pmatrix}0 & 1\\
0 & 0\end{pmatrix})=\exp(t(-1+iy))\exp(iyt\begin{pmatrix}0 & 1\\
0 & 0\end{pmatrix})[/mm]
>
> >
> > [mm]=e^{t(-1+iy)}\begin{pmatrix}1 & iyt\\
0 & 1\end{pmatrix}.[/mm]
>
> >
> > Die Rechenschritte sind ja alle klar. Jetzt kommts:
> >
> > [mm]|e^{tP(iy)}|=e^{-t}\left|\begin{pmatrix}1 & iyt\\
0 & 1\end{pmatrix}\right|.[/mm]
> > An dieser Stelle kommt bei mir die Frage auf, wieso denn
> > [mm]|e^{tiy}|=1[/mm] sein soll??
>
>
> [mm]e^{t*i*y}[/mm] ist eine komplexe Zahl.
>
> Gemäß der Eulerschen Identität gilt:
>
> [mm]e^{t*i*y}=\cos\left(t*y \right)+i*\sin\left(t*y \right)[/mm]
>
> Der Betrag dieser komplexen Zahl ist 1
>
>
> >
> > Dann wird gefolgert:
> >
> > [mm]e^{-t}|yt|\leq|e^{tP(iy)}|\leq e^{-t}(1+|yt|).[/mm] Das kann ich
> > auch nicht sehen. Wenn [mm]|\cdot|[/mm] wirklich die Determinante
> > sein sollte, dann müsste das doch immer [mm]\leq e^{-t}[/mm] sein,
> > damit stimmt auf jeden Fall die rechte Seite. Aber wieso
> > sollte die linke gelten?
>
>
> Nein, das ist nicht die Determinante.
>
> Vielmehr ist [mm]\vmat{ \ \ }[/mm] hier die Spalten- bzw.
> Zeilensummennorm.
Ok vielen Dank schonmal. Wie sieht denn diese Norm aus? Ich hab danach gesucht und nicht wirklich eine Definition gefunden.
>
> Gruss
> MathePower
|
|
|
| |
|
Hallo T_sleeper,
> > >
> > > Dann wird gefolgert:
> > >
> > > [mm]e^{-t}|yt|\leq|e^{tP(iy)}|\leq e^{-t}(1+|yt|).[/mm] Das kann ich
> > > auch nicht sehen. Wenn [mm]|\cdot|[/mm] wirklich die Determinante
> > > sein sollte, dann müsste das doch immer [mm]\leq e^{-t}[/mm] sein,
> > > damit stimmt auf jeden Fall die rechte Seite. Aber wieso
> > > sollte die linke gelten?
> >
> >
> > Nein, das ist nicht die Determinante.
> >
> > Vielmehr ist [mm]\vmat{ \ \ }[/mm] hier die Spalten- bzw.
> > Zeilensummennorm.
>
> Ok vielen Dank schonmal. Wie sieht denn diese Norm aus?
> Ich hab danach gesucht und nicht wirklich eine Definition
> gefunden.
Guckst Du hier: ![[]](/images/popup.gif) Matrixnorm
Gruss
MathePower
|
|
|
|
