Norm einer ganzalgebr. Zahl < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 12:34 Mi 24.12.2008 | | Autor: | hhashavti |
Hallo, ich erarbeite mir gerade einen Beweis des Satzes von Gelfond-Schneider, und brauche dabei folgenden Satz:
Der Betrag der Norm einer von 0 verschiedenen ganzalgebraischen Zahl (das heißt einer Zahl, welche die Nullstelle eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten und vorderstem Koeffizienten 1 ist) ist [mm] \ge [/mm] 1.
Der Autor des Papers, das ich lese, nimmt dies als offensichtlich an. Mir leuchtet es aber nicht unbedingt ein. Für den Fall, dass das Minimalpolynom den Grad 1 hat, ist es trivial, für die Grade 2 bis 4 hab ich's (mit Hilfe der pq-Formel bzw. der Cardanischen Formel bzw. der Quartischen Formel) bewiesen, für alle höhergradigen Minimalpolynome habe ich keinen blassen Schimmer. Bitte helft mir!
(Das Originalpaper ist: Schneider, Theodor: Transzendenzuntersuchungen periodischer Funktionen, Teil I: Transzendenz von Potenzen, Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, Band 172, Seiten 65-69, Jahrgang 1934)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:50 Mi 24.12.2008 | | Autor: | pelzig |
Was ist die Norm einer algebraischen Zahl?
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:02 Mi 24.12.2008 | | Autor: | hhashavti |
Das Produkt ihrer Konjugierten.
by the way, die Frage habe ich mir mittlerweile selbst beantworten können. Ich hatte nur Tomaten auf den Augen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:14 Do 25.12.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo zusammen
> Hallo, ich erarbeite mir gerade einen Beweis des Satzes von
> Gelfond-Schneider, und brauche dabei folgenden Satz:
>
> Der Betrag der Norm einer von 0 verschiedenen
> ganzalgebraischen Zahl (das heißt einer Zahl, welche die
> Nullstelle eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten
> und vorderstem Koeffizienten 1 ist) ist [mm]\ge[/mm] 1.
Auch wenn du das schon herausgefunden hast, hier die Loesung fuer alle anderen:
die Norm ist (bis aufs Vorzeichen) gleich dem konstanten Term des Minimalpolynoms. Da die Zahl ganzalgebraisch ist, sind die Koeffizienten des Mininmalpolynoms alle in [mm] $\IZ$ [/mm] (und der Leitkoeffizient ist 1), insbesondere auch der konstante Term. Da er ungleich 0 sein muss (ansonsten waer die ganzalgebraische Zahl bereits 0), ist er also eine ganze Zahl ungleich 0, und eine solche ist immer vom Betrag groessergleich 1.
LG Felix
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