Norm der Jacobi Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:11 Do 01.03.2018 | | Autor: | Yomu |
Hallo Forum,
Auf der Wikipediaseite zu relative Kondition kann man lesen:
[mm] $\kappa_{rel}=\limsup_{\tilde{x} \to x} \frac{||f(\tilde{x})-f(x)) ||}{||\tilde{x}-x||} \frac{||x||}{||f(x)||}$ [/mm] . Ist f an der Stelle x differenzierbar dann folgt
$ [mm] \kappa_{rel}= \frac{||Df(x)||||x||}{||f(x) ||} [/mm] $ . Wobei $Df(x)$ die Jacobi Matrix von $f$ an der Stelle $x$ und die Norm $|| Df(x)||$ eine mit der verwendeten Vektornorm vertraegliche Matrixnorm ist.
Das heisst ja dann dass gilt:
[mm] $\limsup_{\tilde{x} \to x} \frac{||f(\tilde{x})-f(x)) ||}{||\tilde{x}-x||} [/mm] = [mm] \sup_{||y||=1}\frac{||Df(x)y||}{||y||}$
[/mm]
Das ist zwar zu erwarten, aber es ist für mich nicht offensichtlich, ich hab es versucht mithilfe von
[mm] $\limsup_{\tilde{x} \to x} \frac{||f(x)-f(\tilde{x}) - Df(x)(x-\tilde{x}) ||}{||x-\tilde{x}||}=0$ [/mm] aber hab es nicht hinbekommen.
Waer schoen wenn mir einer zeigen koennte wieso das gilt,
Mit freundlichen Gruessen,
Yomu
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Hiho,
erstmal gilt offensichtlich: [mm] $\sup_{||y||=1}\frac{||Df(x)y||}{||y||} [/mm] = [mm] \sup_{||y||=1}||Df(x)y||$
[/mm]
Nun setze ich mal $v = [mm] \tilde{x} [/mm] - x$ und damit erhalten wir unter Berücksichtigung von [mm] $\tilde{x} \to [/mm] x [mm] \gdw [/mm] v [mm] \to [/mm] 0 [mm] \gdw ||v||\to [/mm] 0$ sowie nach Definition der Differenzierbarkeit:
$ [mm] \limsup_{\tilde{x} \to x} \frac{||f(\tilde{x})-f(x)) ||}{||\tilde{x}-x||} [/mm] = [mm] \limsup_{||v|| \to 0} \frac{||Df(x)\cdot v + r(v)||}{||v||} [/mm] = [mm] \limsup_{||v|| \to 0} \left|\left|Df(x)\frac{v}{||v||} + \frac{r(v)}{||v||}\right|\right|$
[/mm]
Nach Voraussetzung (Differenzierbarkeit) gilt [mm] $\frac{r(v)}{||v||} \to [/mm] 0$ für $||v|| [mm] \to [/mm] 0$ und wir erhalten:
$= [mm] \limsup_{||v|| \to 0} \left|\left|Df(x)\frac{v}{||v||} \right|\right| [/mm] $
Kannst du nun selbst zeigen, dass gilt:
$ [mm] \limsup_{||v|| \to 0} \left|\left|Df(x)\frac{v}{||v||} \right|\right| [/mm] = [mm] \sup_{||v||=1}||Df(x)v||$
[/mm]
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:52 Fr 02.03.2018 | | Autor: | Yomu |
Hallo Gono,
Vielen Dank fuer deine Antwort, das hat mir sehr geholfen!
Mit freundlichen Gruessen,
Yomu
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