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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:59 Fr 21.11.2008 | | Autor: | Wimme |
| Aufgabe | V endlichdimensionaler Euklidischer Vektorraum. U sei Unterraum von V und <.,.> ein Skalarprodukt.
[mm] U^{\perp} [/mm] := [mm] \{v \in V | = 0 \forall u \in U \}
[/mm]
Sei ||v|| = [mm] \sqrt{}. [/mm] Dann gilt für alle v [mm] \in [/mm] V, dass
[mm] ||v-\hat{u}|| [/mm] = min(u [mm] \in [/mm] U) ||v-u|| [mm] \Leftrightarrow [/mm] v - [mm] \hat{u} \in U^{\perp} [/mm] |
Hallo!
Ich muss leider schon wieder eine Frage stellen.
Die Richtung [mm] \Rightarrow [/mm] habe ich schon gezeigt. Die Rückrichtung finde ich aber merkwürdig.
v - [mm] \hat{u} \in U^{\perp} \Rightarrow
[mm] \Rightarrow +<-\hat{u},u> [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] <v,u> = [mm] <\hat{u},u>
[/mm]
Jetzt müsste doch theoretisch v = [mm] \hat{u} [/mm] gelten, oder?
Das macht ja eigentlich sogar Sinn, ist nur doof, weil v nicht immer in U liegt.
Habe ich richtig umgeformt?
Wie biege ich es so hin, dass ich schön auf das Minimum schließen kann?
Danke sehr :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:58 Fr 21.11.2008 | | Autor: | fred97 |
Es ist noch zu zeigen: aus v - $ [mm] \hat{u} \in U^{\perp} [/mm] $ folgt:
||v- [mm] \hat{u}|| \le [/mm] ||v-u|| für jedes u in U.
Sei also u [mm] \in [/mm] U: dann ist [mm] \hat{u}-u \in [/mm] U und v - $ [mm] \hat{u} \in U^{\perp} [/mm] $, also folgt mit Pythagoras
[mm] ||v-u||^2 [/mm] = ||(v- [mm] \hat{u})+(\hat{u}-u)||^2 [/mm] = ||v- [mm] \hat{u}||^2 [/mm] + [mm] ||\hat{u}-u||^2 \ge [/mm] ||v- [mm] \hat{u}||^2,
[/mm]
Daher: ||v- [mm] \hat{u}|| \le [/mm] ||v-u||
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:19 Sa 22.11.2008 | | Autor: | Wimme |
| Aufgabe | | Wenn [mm] ||v-\hat{u}||=min(u \in [/mm] U)||v-u|| [mm] \Rightarrow \hat{u} [/mm] ist eindeutig bestimmt. |
Hi!
Danke Dir! Das habe ich verstanden. So ganz verstanden, warum mein Ansatz komische Ergebnisse liefert habe ich noch nicht, aber naja.
Mein Ansatz für eine andere Unteraufgabe geht nämlich auch ähnlich. Sie lautet:
Wenn [mm] ||v-\hat{u}||=min(u \in [/mm] U)||v-u|| [mm] \Rightarrow \hat{u} [/mm] ist eindeutig bestimmt.
Meine Lösung:
Angenommen es gäbe [mm] \hat{u} [/mm] und [mm] \hat{u}' [/mm] mit [mm] ||v-\hat{u}||=||v-\hat{u}'|| [/mm] = min (u [mm] \in [/mm] U)||v-u||
Dann folgt mit der vorherigen Aufgabe:
[mm] v-\hat{u} \in U^{\perp} [/mm] und [mm] v-\hat{u}' \in U^{\perp}.
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] =0=<-\hat{u}',u> \forall [/mm] u [mm] \in [/mm] U
[mm] \Leftrightarrow (v-\hat{u})^tu [/mm] = [mm] (v-\hat{u}')^tu
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow \hat{u}=\hat{u}'
[/mm]
Ist das denn so richtig?
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(Frage) überfällig | | Datum: | 17:17 So 23.11.2008 | | Autor: | Wimme |
Hallo nochmal kurz!
Ich habe gerade festgestellt, dass meine Richtung [mm] \Rightarrow [/mm] doch nicht richtig ist.
Also als Hinweis: Man soll einen Widerspruch herleiten. Annahme es gibt u' [mm] \in [/mm] U so dass [mm] \alpha [/mm] = [mm] \neq [/mm] 0.
Def.: [mm] \bar{u} [/mm] = [mm] \hat{u} [/mm] - [mm] \frac{\alpha}{||u'||^2} \in [/mm] U
Ich habe gedacht, ich könne es so machen:
[mm] ||v-\bar{u}|| [/mm] = [mm] ||v-(\hat{u}-\frac{\alpha}{||u'||^2})|| \leq ||v-\hat{u}||+||\frac{\alpha}{||u'||^2}||
[/mm]
Tja, gestern habe ich gedacht "prima"! Wegen [mm] \alpha \neq [/mm] 0 haben wir also ein neues Minimum gefunden. Heute ist mir aber aufgefallen, dass das ja genau falsch ist. Wie biege ich es mal wieder richtig? :(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:58 Di 25.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:28 Mo 24.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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