www.vorkurse.de
Ein Projekt von vorhilfe.de
Die Online-Kurse der Vorhilfe

E-Learning leicht gemacht.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Teams · Forum · Wissen · Kurse · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe-Vorkurse
  Status Organisatorisches
  Status Schule
    Status Wiederholung Algebra
    Status Einführung Analysis
    Status Einführung Analytisc
    Status VK 21: Mathematik 6.
    Status VK 37: Kurvendiskussionen
    Status VK Abivorbereitungen
  Status Universität
    Status Lerngruppe LinAlg
    Status VK 13 Analysis I FH
    Status Algebra 2006
    Status VK 22: Algebra 2007
    Status GruMiHH 06
    Status VK 58: Algebra 1
    Status VK 59: Lineare Algebra
    Status VK 60: Analysis
    Status Wahrscheinlichkeitst

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Uni-Lineare Algebra" - Norm & Skalarprodukt
Norm & Skalarprodukt < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Lineare Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Norm & Skalarprodukt: Beweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:14 Di 07.08.2007
Autor: tynia

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Aufgabe
Zeigen Sie:
Jede orthogonale (2x2)-Matrix hat entweder die Form
[mm] A=\begin{pmatrix} cos x & -sin x \\ sin x & cos x \end{pmatrix} [/mm]   oder
A= [mm] \begin{pmatrix} cos x & sin x \\ sin x & -cos x \end{pmatrix} [/mm]   für 0 [mm] \le [/mm] x < [mm] 2*\pi [/mm]

Kann mir das bitte schnell jemand erklären? Brauche das dringend für eine Prüfung.
Danke voraus

        
Bezug
Norm & Skalarprodukt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:01 Di 07.08.2007
Autor: Gilga

Es muss ja
[mm]A=\begin{pmatrix} cos x & -sin x \\ sin x & cos x \end{pmatrix}[/mm]  *

[mm]A=\begin{pmatrix} cos x &sin x \\ -sin x & cos x \end{pmatrix}[/mm]
=
[mm]\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{pmatrix}[/mm]
gelten. also
[mm] cos^2+sin^2=1 [/mm]

Also ist die Matrix orthogonal.

Setzt man jetzt eine beliebige 2x2 Matrix
[mm] \begin{pmatrix} a&b\\ c &d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a&c\\ b&d \end{pmatrix} = \left[ \begin {array}{cc} {a}^{2}+{c}^{2}&ab+cd\\\noalign{\medskip}ab +cd&{b}^{2}+{d}^{2}\end {array} \right] =\begin{pmatrix} 1&0\\ 0 &1 \end{pmatrix} [/mm]


Rechnet man das ganze aus müsste man auf die Drehmatrizen kommen.
Hier ist der komplette Beweis nach Gerd Fischer
http://www.google.de/books?id=rUlGDEFCRxkC&pg=PA305&ots=AMfXZRoxCa&dq=fischer+hom%C3%B6omorph&sig=9Rs5Q34yFXdIxKrUj6muPNHk5c4#PPA306,M1

Bezug
                
Bezug
Norm & Skalarprodukt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:02 Di 07.08.2007
Autor: tynia

Vielen Dank, dass du so schnell geantwortet hast. Du hast mir echt weiter geholfen. Es könnte sein, dass noch mehr fragen bezüglich diesem Thema kommen ;-) Habe da noch so einige Defizite

Liebe Grüße
Tina

Bezug
                
Bezug
Norm & Skalarprodukt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:55 Do 09.08.2007
Autor: tynia

Ich verstehe nicht so ganz, warum man die beiden Matrizen multiplizieren muss. Man soll doch zeigen, dass jede orthogonale Matrix entweder die eine oder die andere Form hat. Warum dann mal nehmen???

Bezug
                        
Bezug
Norm & Skalarprodukt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:25 Do 09.08.2007
Autor: angela.h.b.


> Ich verstehe nicht so ganz, warum man die beiden Matrizen
> multiplizieren muss. Man soll doch zeigen, dass jede
> orthogonale Matrix entweder die eine oder die andere Form
> hat. Warum dann mal nehmen???

Hallo,

Du willst doch herausfinden, unter welchen Umständen eine 2x2-Matrix [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] orthogonal ist.

Was bedeutet "orthogonale Matrix"? Die Spalten (und Zeilen) bilden eine ONB des [mm] \IR^2, [/mm] d.h. jede Spalte mit sich selbst multipliziert ergibt 1 und jede Spalte mit der anderen multipliziert ergibt 0.

Dies kannst Du ebenso als [mm] \pmat{ a & b \\ c & d }*\pmat{ a & c \\ b & d }=\pmat{ a & 0 \\ 0 & 1} [/mm] schreiben.

Aus diesen Informationen mußt Du Dir nun das Aussehen der a,b,c,d "erobern".

Gruß v. Angela

Bezug
        
Bezug
Norm & Skalarprodukt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:32 Di 07.08.2007
Autor: Blech


> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
>  Zeigen Sie:
>  Jede orthogonale (2x2)-Matrix hat entweder die Form
>  [mm]A=\begin{pmatrix} cos x & -sin x \\ sin x & cos x \end{pmatrix}[/mm]   oder
>  A= [mm]\begin{pmatrix} cos x & sin x \\ sin x & -cos x \end{pmatrix}[/mm]   für 0
> [mm]\le[/mm] x < [mm]2*\pi[/mm]
>  Kann mir das bitte schnell jemand erklären? Brauche das
> dringend für eine Prüfung.
>  Danke voraus

Aus [mm]AA^T = I_2[/mm] und [mm]\| Ax \|_2 = \| x \|_2[/mm] folgt für [mm]A=\pmat{a & b \\ c & d}[/mm] :

[mm]a^2 + b^2 = c^2 + d^2 = a^2 + c^2 = b^2 + d^2 =1[/mm] und
[mm]ac + bd = ab + cd = 0[/mm]

(Einfach die beiden Bedingungen oben ausrechnen)

[mm]\Rightarrow a=d,\ b=-c \mbox{ oder } a=-d,\ b=c[/mm]
sowie
[mm]a^2 + b^2 = 1[/mm]
Nun gibt es für alle [mm]a, b \in \IR[/mm], weil [mm] \| e^{ix}\|_2 =\| \cos(x) + i\sin(x)\|_2 = \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1[/mm] den ganzen Einheitskreis abdeckt, ein [mm] 0 \leq x < 2\pi[/mm] mit [mm]a = \cos x,\ b = \sin x[/mm]

Bezug
                
Bezug
Norm & Skalarprodukt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:04 Di 07.08.2007
Autor: tynia

Vielen Dank für deine Antwort.
Und vor allem, dass es so schnell ging ;-)

Liebe Grüße
Tina

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Lineare Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorkurse.de
[ Startseite | Mitglieder | Teams | Forum | Wissen | Kurse | Impressum ]