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Noether Normalisierung: Spezialfall
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:15 Mo 27.09.2010
Autor: cantor

Hallo zusammen,

ich hätte eine Frage zu einem Spezialfall der Noether Normalisierung und würde mich über Hinweise sehr freuen. Eine Formulierung des Noether Theorems (Spezialfall) lautet in meinem Heft

Sei $ k $ ein Körper, $ |k| = [mm] \infty [/mm] $ und $ a [mm] \subset k[x_1,...,x_n] [/mm] $ ein Ideal, $ B = [mm] k[x_1,...,x_n] [/mm] / a $
Dann gibt es einen Polynomring
$ A [mm] \cong k[x_1,...,x_d] \subseteq [/mm] B $ mit $ d [mm] \leq [/mm] n $ so dass B ganz über A ist.

Frage:
nehmen wir mal den einfachen Fall $n=1$. Dann gibt es laut dem Satz
einen Polynomring
$ A [mm] \cong k[x_1] \subseteq [/mm] B $ so dass B ganz über A ist. Wobei hier $ B = [mm] k[x_1] [/mm] / a $ für ein Ideal $a$.

Da ist doch irgendwas faul. Wie soll [mm] $k[x_1] \subseteq k[x_1] [/mm] / a$ sein, wenn in Wirklichkeit doch [mm] $k[x_1] [/mm] / a$ "kleiner" ist als [mm] $k[x_1]$ [/mm]

Meine einzige Idee hierzu wäre, dass in dem Noether Satz $n [mm] \ge [/mm] 1$ aber $d [mm] \ge [/mm] 0$ ist. Ist das so?

Danke und Viele Grüße,
cantor

        
Bezug
Noether Normalisierung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:25 Mo 27.09.2010
Autor: felixf

Moin!

> ich hätte eine Frage zu einem Spezialfall der Noether
> Normalisierung und würde mich über Hinweise sehr freuen.
> Eine Formulierung des Noether Theorems (Spezialfall) lautet
> in meinem Heft
>  
> Sei [mm]k[/mm] ein Körper, [mm]|k| = \infty[/mm] und [mm]a \subset k[x_1,...,x_n][/mm]
> ein Ideal, [mm]B = k[x_1,...,x_n] / a[/mm]
>  Dann gibt es einen
> Polynomring
>  [mm]A \cong k[x_1,...,x_d] \subseteq B[/mm] mit [mm]d \leq n[/mm] so dass B
> ganz über A ist.
>  
> Frage:
>  nehmen wir mal den einfachen Fall [mm]n=1[/mm]. Dann gibt es laut
> dem Satz
>  einen Polynomring
>  [mm]A \cong k[x_1] \subseteq B[/mm] so dass B ganz über A ist.
> Wobei hier [mm]B = k[x_1] / a[/mm] für ein Ideal [mm]a[/mm].
>  
> Da ist doch irgendwas faul. Wie soll [mm]k[x_1] \subseteq k[x_1] / a[/mm]
> sein, wenn in Wirklichkeit doch [mm]k[x_1] / a[/mm] "kleiner" ist
> als [mm]k[x_1][/mm]

Nun, wenn $a = [mm] \{ 0 \}$ [/mm] ist, dann ist [mm] $k[x_1] [/mm] / a [mm] \cong k[x_1]$. [/mm]

Ansonsten musst du halt $d = 0$ waehlen. Schliesslich ist [mm] $k[x_1]/a$ [/mm] dann ganz ueber $k$, da in diesem Fall "ganz" einfach nur "algebraisch" bedeutet.

> Meine einzige Idee hierzu wäre, dass in dem Noether Satz [mm]n \ge 1[/mm]
> aber [mm]d \ge 0[/mm] ist. Ist das so?

Exakt.

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Noether Normalisierung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:28 Di 28.09.2010
Autor: cantor

fein. Besten Dank.

Bezug
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