Nochmal Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:20 Di 05.04.2011 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | Überprüfe auf Konvergenz:
[mm] $\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1}\cdot\frac{k^2}{k^3+1}$ [/mm] |
Das notwendige Kriterium spuckt eine 0 aus. Also muss ich weiter auf mögliche Konvergenz prüfen. Mit welchem Kriterium mache ich das nun? Wurzel- und Quotientenkriterium erscheint beides also nicht so passen!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:29 Di 05.04.2011 | | Autor: | bandchef |
Das heißt also, ich muss die Reihe darauf hin überprüfen ob die Reihe eine fallende montone Nullfolge ist, oder wie? Wenn ja, dann konvergent die alternierende Reihe.
Richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:31 Di 05.04.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo bandchef!
Genau so geht es!
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:08 Mi 06.04.2011 | | Autor: | bandchef |
Das heißt nun ich muss den Folgenanteil der Reihe auf überprüfen ob diese eine monoton fallende Nullfolge ist. Wie aber macht man das?
Monoton fallend ist ja definiert durch: [mm] $a_{n+1} \leq a_n$.
[/mm]
Ich muss also nun den Folgenanteil der Reihe mit der obigen Definition überprüfen: [mm] $\frac{k^2}{k^3+1}$.
[/mm]
Wie macht man das?
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:17 Mi 06.04.2011 | | Autor: | bandchef |
Wenn ich nun die Definition anwende komm ich auf das hier:
[mm] $\frac{(k+1)^2}{(k+1)^3+1} \leq \frac{k^2}{k^3+1}$
[/mm]
Nun ist aber an dieser Stelle immer, dass ich nie weiß wie ich ab da jetzt weiter machen muss.
Wie muss umformen?
Nach was muss ich auflösen?
Was sagt mir das Ergebnis?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:40 Mi 06.04.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo bandchef!
Diese Frage sollte nun inzwischen geklärt sein. In den anderen Antworten wurde ja bereits gezeigt, dass es mit Ausmultipluizieren etc. weiter geht.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:17 Mi 06.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Das heißt nun ich muss den Folgenanteil der Reihe auf
> überprüfen ob diese eine monoton fallende Nullfolge ist.
> Wie aber macht man das?
>
>
> Monoton fallend ist ja definiert durch: [mm]a_{n+1} \leq a_n[/mm].
>
> Ich muss also nun den Folgenanteil der Reihe mit der obigen
> Definition überprüfen: [mm]\frac{k^2}{k^3+1}[/mm].
>
> Wie macht man das?
Wenn Dir gar nichts einfällt, nimm die Holzhammermethode:
[mm]\frac{(k+1)^2}{(k+1)^3+1} \le\frac{k^2}{k^3+1} [/mm] [mm] \gdw $(k^3+1)(k+1)^2 \le k^2((k+1)^3+1)$ \gdw [/mm] ........................... [mm] \gdw [/mm] A(K)
............................. bedeutet ausmultiplizieren und A(k) eine wahre Aussage.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:27 Mi 06.04.2011 | | Autor: | bandchef |
Gut. Ich hab dann mal alles auf einen Nenner usw. Das sieht dann jetzt so aus:
$ [mm] \frac{(k+1)^2}{(k+1)^3+1} \leq \frac{k^2}{k^3+1} \Leftrightarrow [/mm] ... [mm] \Leftrightarrow \frac{(k+1)^2-k^2[(k+1)^3+1]}{[(k+1)^3+1](k^3+1)} \Leftrightarrow [/mm] ...$
Wie gehts da jetzt weiter? Zähler ausmultiplizieren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:31 Mi 06.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Gut. Ich hab dann mal alles auf einen Nenner usw.
Was soll der Quatsch ? Den ersten Schritt hab ich Dir doch vorgemachT:
$ [mm] \frac{(k+1)^2}{(k+1)^3+1} \le\frac{k^2}{k^3+1} [/mm] $ $ [mm] \gdw [/mm] $ $ [mm] (k^3+1)(k+1)^2 \le k^2((k+1)^3+1) [/mm] $
FRED
> Das sieht
> dann jetzt so aus:
>
> [mm]\frac{(k+1)^2}{(k+1)^3+1} \leq \frac{k^2}{k^3+1} \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow \frac{(k+1)^2-k^2[(k+1)^3+1]}{[(k+1)^3+1](k^3+1)} \Leftrightarrow ...[/mm]
>
> Wie gehts da jetzt weiter? Zähler ausmultiplizieren?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:40 Mi 06.04.2011 | | Autor: | bandchef |
Wenn ich nun vollständige ausmultipliziert habe, dann sieht das jetzt so aus:
[mm] $\Leftrightarrow [/mm] ... [mm] \Leftrightarrow -k^4-2k^3+2k+1 \leq [/mm] 0 [mm] \Leftrightarrow$
[/mm]
Wie gehts jetzt weiter?
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Hallo bandchef,
> Wenn ich nun vollständige ausmultipliziert habe, dann
> sieht das jetzt so aus:
>
> [mm]\Leftrightarrow ... \Leftrightarrow -k^4-2k^3+2k+1 \leq 0 \Leftrightarrow[/mm]
Das stimmt nicht ganz:
[mm]-k^4-2k^3\red{-k^{2}}+2k+1 \leq 0[/mm]
>
> Wie gehts jetzt weiter?
Beweise, daß diese Ungleichung für alle [mm] k \ge 1[/mm] erfüllt ist.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:10 Mi 06.04.2011 | | Autor: | bandchef |
Dass diese Gleichung
$ [mm] -k^4-2k^3\red{-k^{2}}+2k+1 \leq [/mm] 0 $ für $ k [mm] \ge [/mm] 1 $ ist, sieht man ja. Wie soll ich das jetzt konrekt aufschreiben? Muss ich das überhaupt aufschreiben?
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Hallo bandchef,
> Dass diese Gleichung
> [mm]-k^4-2k^3\red{-k^{2}}+2k+1 \leq 0[/mm] für [mm]k \ge 1[/mm] ist, sieht
> man ja.
Naja, wenn das deinem Korrektor reicht ...
> Wie soll ich das jetzt konrekt aufschreiben? Muss
> ich das überhaupt aufschreiben?
Na, du hast doch lauter Äquivalenzaussagen gemacht von [mm] $a_{k+1}\le a_k$ [/mm] bis zu [mm] $-k^4-2k^3-k^2+1\le [/mm] 0$
Letzteres ist eine wahre Aussage, damit auch die 1.Zeile, also [mm] $a_{k+1}\le a_k$
[/mm]
Damit ist [mm] $(a_k)_{k\in\IN}$ [/mm] monoton fallend, außerdem sind alle [mm] $a_k>0$
[/mm]
Also ist die gegebene Reihe gem. Leibniz konvergent.
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:17 Do 07.04.2011 | | Autor: | fred97 |
$ [mm] -k^4-2k^3\red{-k^{2}}+2k+1 \leq [/mm] 0 $ [mm] \gdw [/mm] 2k+1 [mm] \le k^4+2k^3+k^2
[/mm]
Die letzte Ungl. gilt, denn:
2k+1 [mm] \le 2k^3+1 \le 2k^3+k^2 \le 2k^3+k^2+k^4
[/mm]
FRED
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Leibniz