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Forum "Uni-Analysis" - Noch eine Ableitung
Noch eine Ableitung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Noch eine Ableitung: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:14 Di 30.08.2005
Autor: ado

wo liegt mein fehler (mal wieder) ? :)

[mm]y = 4x^{(2x)}[/mm] meine überlegung : ich substituiere: [mm]u = 2x \ggf u'=2[/mm]

[mm]y' = 4*\bruch{1}{2}u^{u}*\bruch{du}{dx}[/mm]

[mm]y' = 2u^{u}*(\ln u +1) *2 = 8x^{2x} (\ln 2x+1)[/mm]

lösung sagt aber:

[mm]y' = 2u^{u}*(\ln u +1) *2 = 8x^{2x} (\ln x+1)[/mm]

mfg, ado
        
Bezug
Noch eine Ableitung: Rechenweg unklar
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:26 Di 30.08.2005
Autor: Roadrunner

Hallo ado!


Also hier ist mir Dein Rechenweg etwas unklar ... [haee]

Auf jeden Fall erhalte ich die vorgegeben Lösung!


Den Ausdruck [mm] $x^{2x}$ [/mm] musst Du zunächst umformen, um ableiten zu können:

[mm] $x^{2x} [/mm] \ = \ [mm] \left(x^x\right)^2 [/mm] \ = \ [mm] \left[\left(e^{\ln(x)}\right)^x\right]^2 [/mm] \ = \ [mm] \left(e^{x*\ln(x)}\right)^2 [/mm] \ = \ [mm] e^{2x*\ln(x)}$ [/mm]

Nun kannst Du diesen Ausdruck nach der MBKettenregel in Verbindung mit der MBProduktregel ableiten ...


Gruß vom
Roadrunner

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Noch eine Ableitung: Aaaaah ...
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:35 Di 30.08.2005
Autor: Roadrunner

Hallo ado!


[bonk] So meinst Du das ...


Bei Deiner gewählten Substitution müsstest Du aber schreiben (Klammern setzen!) :

$y \ = \ [mm] 4*x^{2x} [/mm] \ = \ [mm] 4*\left(\bruch{1}{2}u\right)^u$ [/mm]


Gruß vom
Roadrunner

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Noch eine Ableitung: ja und dann...!?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:18 Di 30.08.2005
Autor: ado

und was passiert dann?

ich bin ein notorischer auf dem schlauch steher, ich brauch das haarklein um durchzublicken..

mfg, ado :)
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Noch eine Ableitung: Dann wirds kompliziert ...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:33 Di 30.08.2005
Autor: Roadrunner

Hallo ado!


Dann wird's unverhältnismäßig kompliziert:


$y \ = \ [mm] 4*\left(\bruch{1}{2}u\right)^u [/mm] \ = \ [mm] 4*\left(\bruch{1}{2}\right)^u [/mm] * [mm] u^u [/mm] \ = \ [mm] 4*\bruch{1}{2^u} [/mm] * [mm] u^u [/mm] \ = \ [mm] 4*2^{-u}*u^u$ [/mm]


Und nun müsstest Du diesen Ausdruck mit der MBProduktregel ableiten ...

[aufgemerkt] Daher rate ich eindeutig zu Stefan's (bzw. auch meinem) o.g. Weg über die Darstellung mit der e-Funktion!


Gruß vom
Roadrunner

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Noch eine Ableitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:28 Di 30.08.2005
Autor: Stefan

Hallo!

Roadrunner wird dir sicherlich deinen Fehler gleich sagen. Ich rate dir aber mal was anderes: Lass den Quatsch mit dem Substituieren ganz sein, das verwirrt nur.

Leite doch einfach direkt mit der Kettenregel ab, ohne formales Substituieren (inhaltlich ist das das Gleiche, aber man vertut sich nicht so leicht):

$y(x) [mm] =4x^{2x} [/mm] = [mm] 4e^{2x \cdot \ln(x)}$, [/mm]

also:

$y'(x) = [mm] 4e^{2x \cdot \ln(x)} \cdot [/mm] (2 [mm] \cdot \ln(x) [/mm] + 2) = [mm] 8x^{2x} \cdot [/mm] (1+ [mm] \ln(x))$. [/mm]

Viele Grüße
Stefan
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Noch eine Ableitung: viel zu schnell ?!
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:20 Di 30.08.2005
Autor: ado

dauch das ging mir leider zu schnell..

ohne zwischenschritte stehe ich davor, wie vor einem picasso!

bitte in einzelnen schritten!

mfg, ado
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Bezug
Noch eine Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:32 Di 30.08.2005
Autor: Stefan

Hallo!

> dauch das ging mir leider zu schnell..

Huups, tut mir leid, ich empfand es als ausführlich.

> ohne zwischenschritte stehe ich davor, wie vor einem
> picasso!

Oh, das ist zuviel der Ehre, da werde ich ja ganz verlegen. [verlegen]
  
> bitte in einzelnen schritten!

Na gut:

Also, wir hatten

$y(x) = [mm] 4e^{2x\ln(x)}$. [/mm]

Dies bedeutet:

$y(x) = h(g(x))$

mit [mm] $h(x)=4e^x$ [/mm] und $g(x) = [mm] 2x\ln(x)$. [/mm]

Nach der Kettenregel gilt:

$y'(x) = h'(g(x)) [mm] \cdot [/mm] g'(x)$.

Nun berechnen wir:

$h'(x) = [mm] 4e^x$, [/mm]

also:

$h'(g(x)) = [mm] 4e^{2x\ln(x)} [/mm] = [mm] 4x^{2x}$ [/mm]

und (Produktregel)

$g'(x) = 2x [mm] \cdot \frac{1}{x} [/mm] + [mm] 2\ln(x) [/mm] = 2 + [mm] 2\ln(x)$. [/mm]

Durch Einsetzen erhalten wir:

$y'(x) = h'(g(x)) [mm] \cdot [/mm] g'(x) = [mm] 4x^{2x} \cdot (2+2\ln(x)) [/mm]  = 4 [mm] x^{2x} \cdot [/mm] 2 [mm] \cdot (1+\ln(x)) [/mm] = [mm] 8x^{2x} \cdot (1+\ln(x))$. [/mm]

Ist nun alles klar? :-)

Viele Grüße
Stefan
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Noch eine Ableitung: fast!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:47 Di 30.08.2005
Autor: ado

das einzige, was mir nun npch fehlt ist : warum wird aus dem x mal eben so ein e ??

ansonsten hab ich's soweit :)

mfg, ado
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Bezug
Noch eine Ableitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:55 Di 30.08.2005
Autor: Stefan

Hallo ado!

Es gilt (alles sei schön gewählt .-)):

[mm] $x^y [/mm] = [mm] e^{\ln(x^y)} [/mm] = [mm] e^{y \cdot \ln(x)}$. [/mm]

Liebe Grüße
Stefan
Bezug
                                                
Bezug
Noch eine Ableitung: danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:57 Di 30.08.2005
Autor: ado

nun hab ich es verstanden, das hat noch gefehlt.

danke, ado
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