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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:33 So 22.06.2014 | | Autor: | jusates |
| Aufgabe | Skizziere den Graphen sowie die Niveaulinien von
f(x,y) := [mm] e^{-(x^2+y^2)} [/mm] + [mm] e^{-((x-4)^2+y^2)} [/mm] |
Hallo,
leider weiß ich garnicht, wie man solch eine Aufgabe angeht und den Graphen erst einmal skizziert. Zudem bin ich mir ziemlich unsicher, wie man genau nach den Niveaulinien auflöst, also in welcher Form (in der Lesung hatten wir nur ein Beispiel, und dort wurde gesagt das wäre nicht richtig am Ende der Vorlesung...)
In der Vorlesung wurde die Funktion betrachtet mit f(x,y) = c für eine beliebiges c und dann nach x oder y aufgelöst, stimmt das erst einmal so?
D.h. ich kriege einen Graphen mit Abh. von c,x oder c,y...
Gruß
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Hallo,
> Skizziere den Graphen sowie die Niveaulinien von
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> f(x,y) := [mm]e^{-(x^2+y^2)}[/mm] + [mm]e^{-((x-4)^2+y^2)}[/mm]
>
> Hallo,
>
> leider weiß ich garnicht, wie man solch eine Aufgabe
> angeht und den Graphen erst einmal skizziert. Zudem bin ich
> mir ziemlich unsicher, wie man genau nach den Niveaulinien
> auflöst, also in welcher Form (in der Lesung hatten wir
> nur ein Beispiel, und dort wurde gesagt das wäre nicht
> richtig am Ende der Vorlesung...)
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> In der Vorlesung wurde die Funktion betrachtet mit f(x,y) =
> c für eine beliebiges c und dann nach x oder y aufgelöst,
> stimmt das erst einmal so?
Ja, das stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> D.h. ich kriege einen Graphen mit Abh. von c,x oder
> c,y...
Nein, denn a) ist c eione Konstante und b) darf man das ganze nicht auf den [mm] \IR^3 [/mm] reduzieren.
Wenn du deinen Term hier mit c=const. gleichsetzt
dann kann man hier sehr leicht nach y auflösen, sodass eine Funktion entsteht, die von x abhängt (wobei man eine Fallunterscheidung vornehmen muss). Erinnere dich an die Potenzgesetze!
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:18 So 22.06.2014 | | Autor: | jusates |
Hallo,
erst einmal Danke für deine Antwort. dann bin ich wenigsten froh, dass der Ansatz schonmal stimmt.
Ok, zu dem "in Abhängigkeit von x mit c als Konstante", kann ich mir dass dann eher vorstellen als [mm] f_c(x) [/mm] = y, also als einer Art Funktionsschar?
Aber kommen wir mal zu den Umformungen... bisher habe ich (mit Hilfe von Potenzgesetzen):
c = [mm] e^{-(x^2+y^2)} [/mm] + [mm] e^{-((x-4)^2+y^2))}
[/mm]
c = [mm] e^{-(x^2)} [/mm] * [mm] e^{-(y^2)} [/mm] + [mm] e^{-(x-4)^2} [/mm] * [mm] e^{-(y^2)}
[/mm]
c = [mm] e^{-(y^2)} [/mm] * [mm] (e^{-(x^2)} [/mm] + [mm] e^{-(x-4)^2})
[/mm]
Naja, irgendwie drehe ich mich hier im Kreis, da ich den hinteren Term einfach nicht vereinfacht kriege... Ich könnte jetzt theoretisch den Logarithmus anweden und [mm] y^2 [/mm] rauszukriegen (und dementsprechend nach y umzustellen), jedoch wirkt das Ganze dann sehr klobig und sperrig auszurechnen. Ich glaube, ich übersehe noch etwas...
Wäre dass denn erstmal die richtige Idee?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:58 So 22.06.2014 | | Autor: | luis52 |
>Ich glaube, ich übersehe noch etwas...
Nein.
>
> Wäre dass denn erstmal die richtige Idee?
Ja.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:14 So 22.06.2014 | | Autor: | jusates |
Hm, merkwürdig, aber ok, wenn ich jetzt wieder ansetze dann folgt ja
c = [mm] e^{-(y^2)} [/mm] * [mm] ((e^{-(x^2)} [/mm] + [mm] e^{-(x-4)^2})
[/mm]
Nun wende ich den Logarithmus an, hier benötige ich die Fallunterscheidung, dass c größer 0 ist, richtig? Also folgt
ln(c) = [mm] ln(e^{-(y^2)} [/mm] * [mm] (e^{-(x^2)} [/mm] + [mm] e^{-(x-4)^2})
[/mm]
ln(c) = [mm] ln(e^{-(y^2)}) [/mm] + [mm] ln(e^{-(x^2)} [/mm] + [mm] e^{-(x-4)^2})
[/mm]
ln(c) = [mm] -(y^2) [/mm] + [mm] ln(e^{-(x^2)} [/mm] + [mm] e^{-(x-4)^2})
[/mm]
[mm] y^2 [/mm] = [mm] ln(e^{-(x^2)} [/mm] + [mm] e^{-(x-4)^2}) [/mm] - ln(c)
Naja, jetzt muss noch [mm] ln(e^{-(x^2)} [/mm] + [mm] e^{-(x-4)^2}) [/mm] größer oder gleich ln(c) sein, sonst funktioniert die Wurzel hier nicht...
y = [mm] \wurzel{ln(e^{-(x^2)} + e^{-(x-4)^2}) - ln(c)}
[/mm]
Naja, das wäre jetzt die Gleichung aufgelöst nach y... wie würde man denn jetzt weiter machen? Die Ausnahmen suchen? Oder anfange, zu skizzieren (aber wie?) ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:50 So 22.06.2014 | | Autor: | luis52 |
> Naja, das wäre jetzt die Gleichung aufgelöst nach y...
Naja, fast:
$y = [mm] \red{\pm}\wurzel{\ln(e^{-(x^2)} + e^{-(x-4)^2}) - \ln(c)} [/mm] $
> wie würde man denn jetzt weiter machen? Die Ausnahmen
> suchen?
Gib dir $c_$ vor und zeichne die beiden Kurven. Ueberlege dir aber, welche Werte von $c_$ sinnvoll sind, d.h. so dass der Radikand nichtnegativ ist.
> Oder anfange, zu skizzieren (aber wie?) ?
Kannst du mit R umgehen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 So 22.06.2014 | | Autor: | jusates |
Naja, was vielleicht eine gut Wahl wäre, ist c=1 da ja ln(1)=0, somit nur ein ln(e^...)-Teil unter der Wurzel steht der ja immer positiv ist (Da der exp-Teil ja positiv ist und ln(x) nur auf den positiven Zahlen definiert ist). Also einfach für c=1 loszeichnen, ein paar x einsetzen, skizzieren und fertig? Klingt ziemlich banal und einfach... Merkwürdig.
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Hallo,
> Naja, was vielleicht eine gut Wahl wäre, ist c=1 da ja
> ln(1)=0, somit nur ein ln(e^...)-Teil unter der Wurzel
> steht
soweit ist das eine gute Idee.
> der ja immer positiv ist (Da der exp-Teil ja positiv
> ist und ln(x) nur auf den positiven Zahlen definiert ist).
Das ist Unsinn. Im Bereich (0;1) ist die ln-Funktion negativ.
> Also einfach für c=1 loszeichnen, ein paar x einsetzen,
> skizzieren und fertig? Klingt ziemlich banal und einfach...
Na ja, du könntest dir eben vorher auch noch Gedanken über Definitions- und Wertebereich und solche Sachen machen. Dann wäre es nicht mehr 'banal'...
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:28 Mo 23.06.2014 | | Autor: | jusates |
Hallo,
Das zu ln(x) war gemeint, dass ich dort nur positive Zahlen als X einsetzen darf. Mir war durchaus bewusst dass ln(x) gegen negativ unendlich strebt wenn x gegen 0 läuft. Vermutlich einfach von mir ungeschickt ausgedrückt, entschuldige. =)
Gut, dann werde ich mal loszeichnen und schauen was dabei rumkommt. Danke für die Antwort!
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Hi,
> Skizziere den Graphen sowie die Niveaulinien von
>
> f(x,y) := [mm]e^{-(x^2+y^2)}[/mm] + [mm]e^{-((x-4)^2+y^2)}[/mm]
>
> Hallo,
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> leider weiß ich garnicht, wie man solch eine Aufgabe
> angeht und den Graphen erst einmal skizziert. Zudem bin ich
> mir ziemlich unsicher, wie man genau nach den Niveaulinien
> auflöst, also in welcher Form (in der Lesung hatten wir
> nur ein Beispiel, und dort wurde gesagt das wäre nicht
> richtig am Ende der Vorlesung...)
Du kannst dir auch mal scharf die Form der Funktion anschauen. Der Exponent sieht doch schon ziemlich stark wie eine Kreisgleichung aus...
Da sollte man schon immer ein gewisses Gefühl für die Form der Niveaulinien bekommen.
>
> In der Vorlesung wurde die Funktion betrachtet mit f(x,y) =
> c für eine beliebiges c und dann nach x oder y aufgelöst,
> stimmt das erst einmal so?
> D.h. ich kriege einen Graphen mit Abh. von c,x oder
> c,y...
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>
> Gruß
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