Niveaulinie < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:00 Mi 15.09.2010 | | Autor: | mvs |
| Aufgabe | Die Funktion [mm] f:\IR^{2}\to \IR [/mm] sei definiert durch
f(x,y):= [mm] ln(2-e^{(x^{2}+y)})
[/mm]
Skizzieren Sie die Niveaulinie [mm] f^{-1}({c}) [/mm] in den Fällen c=0 und [mm] c=ln(\bruch{3}{2}) [/mm] und c=ln(3) |
Hallo, bei dieser Aufgabe weiß ich nicht, ob mein Rechenweg richtig ist, daher meine Bitte, ob das jemand korrigieren könnte.
[mm] f^{-1}({0}): [/mm]
0 = [mm] ln(2-e^{(x^{2}+y)}) |e^{x}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 1= [mm] 2-e^{(x^{2}+y)} [/mm] |-2
[mm] \gdw [/mm] -1= [mm] -e^{(x^{2}+y)} [/mm] |*(-1)
[mm] \gdw [/mm] 1= [mm] e^{(x^{2}+y)} [/mm] |ln(x)
[mm] \gdw [/mm] 0= [mm] x^{2}+y
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] y= [mm] -x^{2}
[/mm]
[mm] f^{-1}({ln(\bruch{3}{2})}): [/mm]
[mm] ln(\bruch{3}{2}) [/mm] = [mm] ln(2-e^{(x^{2}+y)}) |e^{x}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{3}{2}= 2-e^{(x^{2}+y)} [/mm] |-2
[mm] \gdw -\bruch{1}{2}= -e^{(x^{2}+y)} [/mm] |*(-1)
[mm] \gdw \bruch{1}{2}= e^{(x^{2}+y)} [/mm] |ln(x)
[mm] \gdw ({ln(\bruch{1}{2})})= x^{2}+y
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] y= [mm] ({ln(\bruch{1}{2})})-x^{2}
[/mm]
[mm] f^{-1}({ln(3)}): [/mm]
ln(3) = [mm] ln(2-e^{(x^{2}+y)}) |e^{x}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 3= [mm] 2-e^{(x^{2}+y)} [/mm] |-2
[mm] \gdw [/mm] 1= [mm] -e^{(x^{2}+y)}|ln(x)
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 0= [mm] -x^{2}-y
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] y= [mm] -x^{2}
[/mm]
also es geht darum, ob die Berechnung für die Funktionen richtig ist. Zeichnen könnte ich sie.
Vielen Dank im voraus.
Gruß,
mvs
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:10 Mi 15.09.2010 | | Autor: | fred97 |
> Die Funktion [mm]f:\IR^{2}\to \IR[/mm] sei definiert durch
>
> f(x,y):= [mm]ln(2-e^{(x^{2}+y)})[/mm]
>
> Skizzieren Sie die Niveaulinie [mm]f^{-1}({c})[/mm] in den Fällen
> c=0 und [mm]c=ln(\bruch{3}{2})[/mm] und c=ln(3)
> Hallo, bei dieser Aufgabe weiß ich nicht, ob mein
> Rechenweg richtig ist, daher meine Bitte, ob das jemand
> korrigieren könnte.
>
> [mm]f^{-1}({0}):[/mm]
>
> 0 = [mm]ln(2-e^{(x^{2}+y)}) |e^{x}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] 1= [mm]2-e^{(x^{2}+y)}[/mm] |-2
>
> [mm]\gdw[/mm] -1= [mm]-e^{(x^{2}+y)}[/mm] |*(-1)
>
> [mm]\gdw[/mm] 1= [mm]e^{(x^{2}+y)}[/mm] |ln(x)
>
> [mm]\gdw[/mm] 0= [mm]x^{2}+y[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] y= [mm]-x^{2}[/mm]
O.K.
>
> [mm]f^{-1}({ln(\bruch{3}{2})}):[/mm]
>
> [mm]ln(\bruch{3}{2})[/mm] = [mm]ln(2-e^{(x^{2}+y)}) |e^{x}[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{3}{2}= 2-e^{(x^{2}+y)}[/mm] |-2
>
> [mm]\gdw -\bruch{1}{2}= -e^{(x^{2}+y)}[/mm] |*(-1)
>
> [mm]\gdw \bruch{1}{2}= e^{(x^{2}+y)}[/mm] |ln(x)
>
> [mm]\gdw ({ln(\bruch{1}{2})})= x^{2}+y[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] y= [mm]({ln(\bruch{1}{2})})-x^{2}[/mm]
O.K.
>
> [mm]f^{-1}({ln(3)}):[/mm]
>
> ln(3) = [mm]ln(2-e^{(x^{2}+y)}) |e^{x}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] 3= [mm]2-e^{(x^{2}+y)}[/mm] |-2
>
> [mm]\gdw[/mm] 1= [mm]-e^{(x^{2}+y)}|ln(x)[/mm]
Oops ! Es folgt: [mm] e^{(x^{2}+y)}=-1 [/mm] . Kann das sein ???
FRED
>
> [mm]\gdw[/mm] 0= [mm]-x^{2}-y[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] y= [mm]-x^{2}[/mm]
>
> also es geht darum, ob die Berechnung für die Funktionen
> richtig ist. Zeichnen könnte ich sie.
>
> Vielen Dank im voraus.
>
> Gruß,
> mvs
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 Mi 15.09.2010 | | Autor: | mvs |
> Oops ! Es folgt: [mm]e^{(x^{2}+y)}=-1[/mm] . Kann das sein ???
>
>
> FRED
Hallo FRED, danke für deine Antwort.
[mm]e^{(x^{2}+y)}=-1[/mm] ist nicht lösbar. [mm] \Rightarrow [/mm] Die Niveaulinie $ [mm] f^{-1}({ln(3)}): [/mm] $ existiert nicht?
Gruß,
mvs
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:23 Mi 15.09.2010 | | Autor: | fred97 |
> > Oops ! Es folgt: [mm]e^{(x^{2}+y)}=-1[/mm] . Kann das sein ???
> >
> >
> > FRED
>
> Hallo FRED, danke für deine Antwort.
>
> [mm]e^{(x^{2}+y)}=-1[/mm] ist nicht lösbar. [mm]\Rightarrow[/mm] Die
> Niveaulinie [mm]f^{-1}({ln(3)}):[/mm] existiert nicht?
So ist es. Der Aufgabensteller hat sich offenbar nicht viele gedanken gemacht. Im übrigen ist die Funktion f nicht, wie oben angegeben , auf dem ganzen [mm] \IR^2 [/mm] definiert.
Sie ist nur für solche (x,y) def. für die [mm] e^{x^2+y}<2 [/mm] ist, also z.B. nicht für (x,y)=(0, 100)
FRED
>
> Gruß,
> mvs
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:49 Mi 15.09.2010 | | Autor: | mvs |
danke FRED
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