Nilpotenz < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:29 Fr 15.05.2015 | | Autor: | Lara001 |
| Aufgabe | a) Sei V ein K-Vektorraum der Dimension n. Zeigen Sie: Für einen Endomorphismus f:V [mm] \to [/mm] V mit [mm] f^{2}=0 [/mm] gilt
dim(Bild(f)) [mm] \le \bruch{n}{2}
[/mm]
b) Seien m,n [mm] \in \IN [/mm] mit 2m [mm] \le [/mm] n. Konstruieren Sie einen Endomorphismus [mm] f:K^n \to K^n [/mm] mit [mm] f^2=0 [/mm] und dim(Bild(f))= m |
Hallo
ich komm mit der Aufgabe nicht wirklich weiter.
a) dim(Bild(f)) ist bei einem Endomorphismus ja gleich der dim(V) wie kann das dann kleiner als n sein?
Hilft es mir weiter den rang zu betrachten?
Wenn [mm] f^2=0 [/mm] ist muss ja der rang der Abbildungsmatrix kleiner n sein.
danke schonmal :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:46 Fr 15.05.2015 | | Autor: | hippias |
> Hallo
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> ich komm mit der Aufgabe nicht wirklich weiter.
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> a) dim(Bild(f)) ist bei einem Endomorphismus ja gleich der
> dim(V) wie kann das dann kleiner als n sein?
Nein, das waere richtig, wenn $f$ surjektiv waere. Aber das kann ja nicht sein. Mein Tip: Ueberlege Dir welcher Zusammenhang zwischen Bild und Kern von $f$ gilt, wenn [mm] $f^{2}=0$ [/mm] ist. Kombinierst Du diese Information mit in der bekannten Formel fuer Endomorphismen endlichdimensionaler Raeume $dim(Kern f)+ dim(Bild f)= dim V$, so beweist Du schnell die Behauptung.
>
> Hilft es mir weiter den rang zu betrachten?
> Wenn [mm]f^2=0[/mm] ist muss ja der rang der Abbildungsmatrix
> kleiner n sein.
>
> danke schonmal :)
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:06 Fr 15.05.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo hippias!
> > a) dim(Bild(f)) ist bei einem Endomorphismus ja gleich der
> > dim(V) wie kann das dann kleiner als n sein?
> Nein, das waere richtig, wenn [mm]f[/mm] surjektiv waere. Aber das
> kann ja nicht sein.
Außer im Falle n=0.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:20 Fr 15.05.2015 | | Autor: | Lara001 |
Hallo
Danke erstmal für eure Antworten. :)
Wenn ich dass jetzt richtig verstehe muss ich so argumentieren..
da f nilpotent ist folgt daraus, dass dim(Bild(f)) [mm] \subseteq [/mm] dim(Kern(f)) ist. Zudem f(f(x))=0
aus dem Dimensionssatz folgt dann: dim(Bild(f))+dim(Kern(f))=dim(V) mit maximal [mm] \bruch{n}{2} [/mm] + [mm] \bruch{n}{2}=n
[/mm]
soweit richtig?
und was muss ich bei b) machen?
Liebe grüße :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:34 Sa 16.05.2015 | | Autor: | hippias |
> Hallo
>
> Danke erstmal für eure Antworten. :)
So formuliert wuerde ich Dir sicher nicht volle Punktzahl geben; wenn der Korrektor streng ist, koennte er Deinen Beweis als schlicht falsch ansehen.
>
> Wenn ich dass jetzt richtig verstehe muss ich so
> argumentieren..
>
> da f nilpotent ist folgt daraus, dass dim(Bild(f))
> [mm]\subseteq[/mm] dim(Kern(f)) ist. Zudem f(f(x))=0
Nein. Nicht aus der Nilpotenz folgt $Bild [mm] f\leq [/mm] Kern f$.
>
> aus dem Dimensionssatz folgt dann:
> dim(Bild(f))+dim(Kern(f))=dim(V) mit maximal [mm]\bruch{n}{2}[/mm] +
> [mm]\bruch{n}{2}=n[/mm]
Was soll das bedeuten. Glaubst Du etwa, dass $dim Kern(f)$ hoechstens [mm] $\frac{n}{2}$ [/mm] ist? Das waere falsch.
>
> soweit richtig?
>
> und was muss ich bei b) machen?
Praesentiere Deine Idee. Kaum jemand wird fuer Dich die Hausaufgaben erledigen. Nuetzlich koennte sein sich zu erinnern, dass eine lineare Abbildung durch die Bilder einer Basis eindeutig festgelegt ist.
>
> Liebe grüße :)
>
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:54 Sa 16.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
>
> Danke erstmal für eure Antworten. :)
>
> Wenn ich dass jetzt richtig verstehe muss ich so
> argumentieren..
>
> da f nilpotent ist folgt daraus, dass dim(Bild(f))
> [mm]\subseteq[/mm] dim(Kern(f)) ist.
Eine Teilmengenbeziehung zwischen Zahlen ist Unsinn ! Es ist
Bild(f) [mm] \subseteq [/mm] Kern(f).
Das folgt aus [mm] f^2=0.
[/mm]
> Zudem f(f(x))=0
>
> aus dem Dimensionssatz folgt dann:
> dim(Bild(f))+dim(Kern(f))=dim(V) mit maximal [mm]\bruch{n}{2}[/mm] +
> [mm]\bruch{n}{2}=n[/mm]
>
> soweit richtig?
Das ist doch nur im Nebel gestochert.
Kombiniere $ dim(Kern f)+ dim(Bild f)= n$ und $ Bild(f) [mm] \subseteq [/mm] Kern(f).$
>
> und was muss ich bei b) machen?
Ein Beispiel angeben. Mach Dir das Leben einfach und nimm m=1 und n=2.
FRED
>
> Liebe grüße :)
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:10 So 17.05.2015 | | Autor: | Lara001 |
Danke für eure Antworten :)
zu dim(bild) [mm] \subseteq [/mm] dim(kern) das war nur nen schreibfehler sry :)
hab jetzt:
[mm] f^2=0 \Rightarrow [/mm] f(f)=0
[mm] \Rightarrow [/mm] f [mm] \in [/mm] kern(f)
[mm] \Rightarrow [/mm] bild(f) [mm] \subseteq [/mm] kern(f)
[mm] \Rightarrow [/mm] dim(bild(f)) [mm] \le [/mm] dim(kern(f))
[mm] \gdw [/mm] dim(bild(f)) [mm] \le [/mm] n-dim(bild(f))
[mm] \gdw [/mm] 2*dim(bild(f)) [mm] \le [/mm] n
[mm] \gdw [/mm] dim(bild(f)) [mm] \le [/mm] n/2
soweit richtig?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:36 So 17.05.2015 | | Autor: | Lara001 |
bei b) hab ich jetzt ganz einfach folgendes:
[mm] f:\IR^2 \to \IR^2 [/mm] mit [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }
[/mm]
da ist bild(f)={ [mm] x*\vektor{1 \\ 0}|x \in \IR [/mm] }
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:22 Mo 18.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> bei b) hab ich jetzt ganz einfach folgendes:
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> [mm]f:\IR^2 \to \IR^2[/mm] mit [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> da ist bild(f)={ [mm]x*\vektor{1 \\ 0}|x \in \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
Das passt.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:42 So 17.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke für eure Antworten :)
>
> zu dim(bild) [mm]\subseteq[/mm] dim(kern) das war nur nen
> schreibfehler sry :)
>
> hab jetzt:
>
> [mm]f^2=0 \Rightarrow[/mm] f(f)=0
rechts meinst Du $f [mm] \circ [/mm] f=0$
> [mm]\Rightarrow[/mm] f [mm]\in[/mm] kern(f)
Das macht keinen Sinn. Aus $f [mm] \circ [/mm] f=0$ folgt wegen $(f [mm] \circ f)(v)=f(\;f(v)\;)$
[/mm]
[mm] $f(\;f(v)\;)=0$ [/mm] für alle $v [mm] \in V\,,$
[/mm]
also
$f(f(V))=0$ bzw. [mm] $\underbrace{\text{Bild}(f)}_{=f(V)} \subseteq \text{Kern}(f)\,.$
[/mm]
Also das, was Du jetzt schreibst!
> [mm]\Rightarrow[/mm] bild(f) [mm]\subseteq[/mm] kern(f)
> [mm]\Rightarrow[/mm] dim(bild(f)) [mm]\le[/mm] dim(kern(f))
> [mm]\gdw[/mm] dim(bild(f)) [mm]\le[/mm] n-dim(bild(f))
> [mm]\gdw[/mm] 2*dim(bild(f)) [mm]\le[/mm] n
> [mm]\gdw[/mm] dim(bild(f)) [mm]\le[/mm] n/2
>
> soweit richtig?
Ich habe leider keine Zeit, für über mehr drüberzugucken...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 05:20 Mo 18.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Danke für eure Antworten :)
>
> zu dim(bild) [mm]\subseteq[/mm] dim(kern) das war nur nen
> schreibfehler sry :)
>
> hab jetzt:
>
> [mm]f^2=0 \Rightarrow[/mm] f(f)=0
> [mm]\Rightarrow[/mm] f [mm]\in[/mm] kern(f)
> [mm]\Rightarrow[/mm] bild(f) [mm]\subseteq[/mm] kern(f)
> [mm]\Rightarrow[/mm] dim(bild(f)) [mm]\le[/mm] dim(kern(f))
> [mm]\gdw[/mm] dim(bild(f)) [mm]\le[/mm] n-dim(bild(f))
> [mm]\gdw[/mm] 2*dim(bild(f)) [mm]\le[/mm] n
> [mm]\gdw[/mm] dim(bild(f)) [mm]\le[/mm] n/2
>
> soweit richtig?
Ja, bis auf den Unsinn [mm]\Rightarrow[/mm] f [mm]\in[/mm] kern(f)
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:23 Mo 18.05.2015 | | Autor: | Lara001 |
danke :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:05 Fr 15.05.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Lara001!
> Hilft es mir weiter den rang zu betrachten?
> Wenn [mm]f^2=0[/mm] ist muss ja der rang der Abbildungsmatrix
> kleiner n sein.
Das stimmt im Falle $n>0$. Im Falle $n=0$ stimmt es nicht.
Viele Grüße
Tobias
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