Nilpotente Matrizen, ihr Kern < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:42 Mi 20.09.2006 | | Autor: | demo |
| Aufgabe | g definiert als [mm] g=\alpha*id [/mm] - f: V->V
d:=min {j:Kern [mm] g^j=Kern [/mm] g^(j+1)}
U = Kern [mm] g^d
[/mm]
Es gilt nun g(u)C U |
warum?
Ist es so, dass der Kern immer größer wird, was heisst dass die Abb immer mehr Vektoren auf die Null schmeisst? Das ist deshalb so weil immer mehr Nullen entstehen? Und irgendwann gibt es ein d , da irgendwann der Kern die Dimension von ganz V hat, sprich die Abb schmeisst alle Elemente auf die Null??
und vor allem warum ist g(u) C U????
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Hallo und guten Morgen,
zuerst eine Frage: Was weisst Du bei der Aufgabenstellung über das f ? Wenn f ein beliebiger Endomorphismus [mm] f\colon V\to [/mm] V sein darf,
so ist im allgemeinen [mm] g:=\alpha\cdot id\: [/mm] -f nicht nilpotent.
Nehmen wir also mal nichts weiter an über f als dass es ein Endomorphismus ist. Dann ist g auch wieder ein Endomorphismus von V.
Nun ist doch [mm] kern(g^j)\subseteq kern(g^{j+1}),
[/mm]
denn wenn [mm] g^j(x)=0, [/mm] so gilt ja auch [mm] g^{j+1}(x)=g(g^j(x))=g(0)=0.
[/mm]
Dann ist bei endlichdimensionalen Vektorräumen V sofort klar, dass es dann ein j geben muss mit [mm] kern(g^{j+1})=kern(g^j)
[/mm]
(denn die Kerne der [mm] g^j,j\in\IN [/mm] sind Unterräume von V).
Lautet jetzt die weitere Behauptung so: [mm] g(U)\subset [/mm] U (bei Dir steht [mm] g(u)\subset [/mm] U) ?
Nun, wenn dem so ist, dann ist der Beweis nicht schwer: es ist [mm] U=kern(g^d). [/mm] Sei nun [mm] u\in [/mm] U, dann gilt [mm] g^d(u)=0, [/mm] insbesondere
[mm] g^{d+1}(u)=g^d(g(u))=0, [/mm] d.h. es gilt dann auch [mm] g(u)\in [/mm] U.
Gruss,
Mathias
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